Алгебраическое сложение чисел, представленных в форме с плавающей запятой

Нужно подчеркнуть, что при выполнении любых арифметических действий над операндами, представленными в форме с плавающей запятой, операции, выполняемые над мантиссами и порядками (или характеристиками) этих чисел, различны. Поэтому перед началом любой арифметической процедуры каждый из операндов "расчленяется": порядок (характеристика) отделяется от мантиссы операнда, что-бы можно было над ними выполнять необходимые отдельные процедуры. После выполнения конкретного арифметического действия и обязательной процедуры нормализации результата, его порядок или характеристика и мантисса "упаковываются" в обычный формат с плавающей запятой.

В случае алгебраического сложения порядки операндов обязательно должны быть одинаковыми. Поэтому в начале процедуры сложения и вычитания чисел производится, при необходимости, выравнивание характеристик операндов. Для этого мантисса операнда с меньшей характеристикой сдвигается по разрядной сетке вправо с прибавление единицы к его характеристике при каждом сдвиге на один разряд. Эта процедура продолжается до тех пор пока характеристики обоих операндов не станут равными.

Полученная таким образом характеристика, одинаковая для обоих операндов, присваивается, как предварительная, результату операции. Далее осуществляется сложение или вычитание мантисс по правилам, аналогичным для чисел с фиксированной запятой, в частности мантисса одного из операндов преобразуется в дополнительный код для того чтобы процедуру вычитания свести к сложению. Если ответ получился в дополнительном коде, то его преобразуют в прямой, т.к. мантисса числа с плавающей запятой - это всегда модуль числа. Далее, при необходимости, выполняется нормализация и округление ответа. В процессе нормализации мантисса поразрядно сдвигается влево или вправо. При сдвиге влево на каждый разряд вычитается единица из характеристики, предварительно присвоенной ответу. При каждом сдвиге вправо - к ней прибавляется единица. Отметим, что сдвиг мантиссы вправо необходим в тех случаях, когда при сложении мантисс произошло переполнение разрядной сетки. В процессе этих последних операций определяются окончательные значения характеристики и мантиссы ответа.

Таким образом, операция нормализации числа состоит из проверки выполнения условия

0,12 m 1

и сдвига изображения мантиссы в ту или иную сторону с соответствующей коррекцией характеристики. Сдвиги могут осуществляться на один и более разрядов в левую сторону, или на один разряд в правую сторону в пределах разрядной сетки машины.

Нарушение нормализации может быть двух видов: нарушение справа, т.е. когда величина результата больше или равна 1, и слева, когда величина результата оказывается меньше 0,12.

Надо отметить, что при реализации алгоритмов математических операций в формате с плавающей запятой каждый раз, когда осуществляется та или иная процедура, затрагивающая характеристики операндов или результата, производится контроль над переполнением и исчезновением порядка, т.е. контролируется условие

0 r rmax ,

где rmax = l + pmax .

Рассмотрим пример:

Имеем 8-разрядную мантиссу и 6-разрядный порядок, смещение равно 10002. Сложим 2 числа с мантиссами m1 = 0,10100000, m2 = 0,10000000 и с характеристиками r1 = 001011, r2 = 001010. Т.к. порядки разные надо их выравнивать: r1 - r2 = 000001, значит надо сдвинуть m2 на 1 разряд вправо, а к r2 прибавить 1. После преобразований получим:

m2 = 0,01000000, r2 = 001010 + 000001 = 001011. Складываем мантиссы, получаем: m = m1 + m2 = 0,10100000 + 0,01000000 = 0,11100000, r = 001011.

Нормализация ответа не нужна.