Линейные однородные дифференцируемые уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентами называется уравнение:
где р и q – некоторые числа
Для решения такого дифференциального уравнения необходимо составить характеристическое уравнение: Это уравнение имеет два корня.
Возможны три разных случая:
1. Корни характеристического уравнения действительны и различны (дискриминант уравнения ). Тогда общее решение однородного дифференцируемого уравнения будет выглядеть следующим образом:
2. Корни характеристического уравнения действительны и совпадающие (дискриминант уравнения ). Тогда общее решение однородного дифференцируемого уравнения будет выглядеть следующим образом:
или
3. Корни характеристического уравнения комплексные числа: Тогда общее решение дифференцируемого уравнения ищется в виде:
Пример.Найти решение однородного ДУ 2-го порядка:
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
Найдем дискриминант:
Уравнение имеет два разных действительных корня:
значит, решение дифференциального уравнения будет иметь вид:
Пример.Найти решение однородного уравнения:
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
Найдем дискриминант:
уравнение имеет два совпавших действительных корня:
значит, решение дифференциального уравнения будет иметь вид:
Пример.Найти решение однородного дифференциального уравнения:
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
Найдем дискриминант:
уравнение имеет комплексные корни:
значит, решение уравнения будет иметь вид:
Лекция 10. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2271;