Геометрическое приложение определенного интеграла (площадь криволинейной трапеции).

Рассмотрим фигуру

Рис. 8.1. Криволинейная трапеция

Фигура, ограниченная снизу отрезком [a; b] оси Ox, сверху графиком непрерывной функции y = f(x) такой, что f (x) ≥ 0 при х [a; b] и f (x) > 0 при х (а; b), а с боков ограниченная отрезками прямых х = а и x = b, называется криволинейной трапецией.

Отрезок [a; b] называют основанием этой криволинейной трапеций.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла заключается в вычислении площади криволинейной трапеции.

Приведём различные примеры криволинейной трапеции:

Рассмотрим основные способы вычисления площади криволинейной трапеции:

Рисунок	Формула
	или
	S=S1+S2

Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции:

1. Построить графики функции;

2. Определить пределы интегрирования a и b;

3. Выбрать и записать соответствующую формулу площади криволинейной трапеции;

4. Вычислить площадь криволинейной трапеции.

ПРИМЕР : Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = -1, х = 2 и параболой y = 9 - x².

Решение: Построим график функции y = 9 - x² и изобразим данную криволинейную трапецию:

y = 9 - x² -парабола, ветви вниз,

координаты вершины:

(0 ; 9) - вершина

Точки пересечения с осью Ох:

9 - x² = 0

-x² = 9

x² = 9 => x_1/2 = 3

Проведём прямые х = - 1 и х = 2

f(x)=9 - x² a = - 1 b = 2

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

.

Ответ: S_кр.тр = 24(кв.ед)

Лекция 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ