Вычисление площади криволинейной трапеции заданной в параметрической форме

Вычисление площадей плоских фигур

Если функция , определена и интегрируема на отрезке , причем на этом отрезке, то площадь криволинейной трапеции определяется определенным интегралом. . Если функция отрицательна на отрезке

, то . Если функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то для определения площади криволинейной трапеции в обычном смысле, необходимо разбить отрезок , на части, соответствующие участкам знакопостоянства функции . Площадь криволинейной трапеции будет выражена: . Если требуется вычислить площадь области ограниченной двумя кривыми и на отрезке . Причем , то достаточно представить искомую площадь в виде разности площадей двух криволинейных трапеций.

В случае более сложных областей, искомую площадь разбивают на части и каждую часть рассчитывают по отдельности.

Вычисление площади криволинейной трапеции заданной в параметрической форме

Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] задана параметрически

Следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Пример. Вычислить площадь эллипса.

Эллипс- фигура симметричная по всем осям, для вычисления площади эллипса достаточно вычислить площадь заштрихованной части. Используя тригонометрическую параметризацию , получим

.