Дифференциал функции

Точки, в которых производная функции равна нулю, принято называть точками возможного экстремума (стационарные точки).

Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума).Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x_0. Тогда если f '(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с «+» на «-», то x₀ - точка локального максимума, если f '(x) в точке x₀ меняет знак с «-» на «+», то - точка локального минимума, если же знак f '(x) в точке x₀ не изменяется, то в точке экстремума не существует.

Направление выпуклости и точки перегиба графика функции:

График функции f '(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (a, b) график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).

Теорема 5.Если функция f '(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и во всех точках (a, b), то график функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точка M(x_0; f(x₀)) называется точкой перегибаграфика функции f '(x),если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x₀, в пределах которого график функции слева и справа от точки x₀ имеет разные направления выпуклости.

Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба).Пусть график функции f '(x) имеет перегиб в точке M(x_0; f(x₀)) и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f"(x₀) в точке x₀ обращается в нуль, т.е. f"(x₀)=0.

Точки M(x_0; f(x₀)) графика, для которых f"(x₀)=0, называются критическими.

Теорема 7 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке М .

Пример:Указать, каким условиям удовлетворяет график функции.

Решение:

- график функции расположен выше оси ОХ

– график функции возрастает

- график функции выпуклый

- график функции расположен ниже оси ОХ

– график функции убывает

- график функции вогнутый

Пример:Исследовать функцию с помощью первой и второй производной.

y = 2 - 3x + x³

Решение:

1) D(f): x R

2)

3) Исследуем функцию с помощью первой производной:

А) – приравниваем производную к нулю

, тогда - критические точки первого рода

Б

x

+

_

+

-1 1 max min

Знак f ‘(x) Поведение f(x)   Поведение f(x)

) Определим знак производной на интервалах

на этом интервале возрастает

на этом интервале убывает

на этом интервале возрастает

Т.к. при переходе через x₁ = -1 производная меняет знак с «+» на «-» x₁ = -1 - точка максимума, а при переходе через x₂ = 1 производная меняет знак с «-» на «+» x₂ = 1 – точка минимума.

Найдём значение функции в этих точках:

f _max(-1) = 2-3(-1) + (-1)³ = 2 + 3 – 1 = 4

f _min(1) = 2 - 3 1+1³ = 2 – 3 + 1 = 0

Тогда, max(-1;4) ; min(1;0)

при - функция возрастает

при x Î (-1;1) - функция убывает

4) Исследуем с помощью второй производной (на выпуклость, вогнутость и точки перегиба):

найдём :

А)

Б) приравняем (вторую производную к нулю)

6x = 0

x = 0 - критическая точка второго рода

В) определим знаки второй производной на интервалах

Знак f ‘’ (x) - + Поведение х f(x) 0

график выпуклый

график вогнутый

x = 0 – точка перегиба

Тогда:

На интервале хÎ - график выпуклый

На интервале хÎ(0;+ - график вогнутый

(0;2) - точка перегиба

5) Построим график данной функции: y = 2 - 3x + x³