Дифференциальные уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными:
А) Если в дифференциальном уравнении y′=f(x,y) функция f(x,y) может быть представлена в виде: , то уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными.
Его решение (интегрирование) проводится по следующему алгоритму:
1. Представим , тогда уравнение запишется:
2. Разделить переменные:
3. Проинтегрировать обе части равенства:
,
где С – произвольная постоянная.
Это общий интеграл уравнения, входящие в него неопределенные интегралы находятся методами, рассматриваемыми в интегральном исчислении.
Б) Если дифференциальное уравнение записано в виде:
,
то это уравнение с разделяющимися переменными, если
;
Интегрирование уравнения производится так:
;
Считая , разделим на :
Интегрируя обе части получим:
- общий интеграл уравнения.
Заметим, при разделении переменных могут быть «потерянные» решения, которые в некоторых случаях будут особыми решениями.
Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение:
Так как , то получим
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные (у – влево, х - вправо) и получим:
Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения:
Рассмотрим решение каждого из интервалов отдельно:
Тогда, получим
Ответ:
Пример: Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию
при
Решение: , ,
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения:
Рассмотрим решение каждого из интервалов отдельно:
Тогда, получим
Чтобы найти частное решение ДУ надо найти значение С при условии, что , :
Тогда частное решение ДУ имеет вид:
Ответ:
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2241;