Вычисление интегралов вида
где и
Здесь остановимся на следующих 3-х случаях:
1) и - четные неотрицательные числа.
В этом случаи неопределенные интегралы находятся с помощью тригонометрических формул:
Пример 6.6.41.
2) или - нечетное положительное число.
Если хотя бы одно из чисел и - нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель и вводится новая переменная.
В частности, если , то
Другими словами, если показатель степени одной из тригонометрических функций – нечетное положительное число, то другую функцию принимают за t.
Пример6.6.42.
3) ) + - четное отрицательное число.
Если сумма показателей синуса и косинуса есть четное отрицательное число, подстановка сводит интеграл к табличным (либо подстановка ).
Пример6.6.43.
Пример 6.6.44.
Остановимся на некоторых из них:
Пример6.6.45.
Однако целесообразнее ввести в числителе тригонометрическую единицу во второй степени.
Пример 6.6.46.
Пример 6.6.47.
Пример 6.6.48.Вычисления с помощью универсальной подстановки ; но она приводит к большим выкладкам.
Примечание. Формулы понижения степени:
Тригонометрические подстановки
1) При вычислении интегралов вида
Где - рациональная функция относительно “х” и “ ” (то есть, когда подынтегральная функция содержит только радикалы вида ) часто бывает полезна подстановка (или x = acost)
Любая из них приводит подынтегральную функцию к рациональному виду относительно sint и cost.
Пример6.6.49. и т.д.
Пример6.6.50.
2) Интегралы вида рационализируется подстановкой.
Пример.
2) Интеграл вида рационализируются подстановкой
Пример 6.6.51.
3) Интеграл вида
4) Применяется подстановка
Пусть требуется вычислить где - некоторая алгебраическая явная иррациональная функция.
Здесь стараются подобрать такую подстановку (ее обычно называют рационализирующей) , чтобы функция оказывалась рациональной.
- Интегралы вида , где -рациональные числа
- R - рациональная функция от аргументов
Для рационализации подынтегральной функции применяется подстановка или , где - общий знаменатель дробей
( - общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входят в подынтегральную функцию).
Подстановка рационализирует рассматриваемый интеграл, то есть сводит его к интегралу рациональной дроби: = после введения ‘t’, каждая дробная степень х выразиться через целую степень ‘t’, и, следующая подынтегральная функция будет рациональной относительно переменной ‘t’
Пример6.6.52.
Где
2. где (т.е. рациональные числа);
.
Интегралы этого вида рационализируются подстановкой , или ,
Где - общий знаменатель дробей
Вопрос сводится к интегрированной рациональной функции .
Пример 6.6.53.
.
Пример 6.6.54.
- многочлен степени n.
Имеет место следующая формула:
Где - многочлен степени ”n-1” c неопределенными коэффициентами;
- постоянное число.
(доказательство,см.Фихтенг.,т.2,стр.67).
Многочлен и находятся так:
1) Записывают равенство (I) с неопределенными коэффициентами для многочлена Q(x), беря степень многочлена Q(x) на единицу меньше степени многочлена Pn(x).
2) Дифференцируют обе части равенства(I), в результате чего исчезают интегралы.
3) Умножают полученное равенство на ,в результате чего исчезают иррациональности.
4) По методу неопределенных коэффициентов определяют коэффициенты многочлена Q(x) и число .
5) Найденные значения подставляют в формулу и вычисляют интеграл
Пример6.6.55.Вычислить .
дифференцируем обе части:
Умножаем почтенно на :
;
откуда имеем:
4. ;где
Применяется подстановка .
С помощью этой подстановки интеграл сводится к рассмотренным ранее (в зависимости от “n”).
Пример6.6.56.
.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2537;