Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности {x_n } , если найдётся такой номер N , что , начиная с этого номера выполняется условие < при n Обозначается

Раскроем последнее неравенство < - A- , геометрически

A- . .A .x_N .A+ x

n

Определение. - окрестностью точки называется интервал (

По другому определение предела :

Определение.Число А называется пределом последовательности { , если начиная с некоторого номера N все элементы последовательности оказываются в окрестности .

Вычисляются пределы дискретной переменной точно так же как и для непрерывной переменной.

Пример 1.Вычислить

Пример 2. Вычислить = .

Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел.

Определение. Последовательность y₁ ,y₂, y₃ ….y_n называется ограниченной , если существует такое число С , что выполняется неравенство .

Теорема.Всякие ограниченные последовательности имеют предел и обратно.

Пример. Дана последовательность 1 , определить сходящаяся она или нет?

Решение.Как видно - это бесконечно убывающая геометрическая последовательность , можно найти её сумму S = = 2, то есть эта последовательность имеет предел , а это значит она ограничена и сходящаяся.