Лекция 24. Дифференциал функции.

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором интервале , тогда

Y’ = по теореме ( о пределе функции , имеем

→ б.м.функция , при ,

, f’(x) поэтому f’(x) - б.м. 1-го порядка малости относительно . Проверим , какого порядка малости Найдём = , то есть более высокого порядка малости , чем . 1- е слагаемое f’(x) называется главной частью приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции , линейная относительно

Обозначается . Если y= f(x) = x , то y’_x = 1 , а

Вывод.Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной , рабочая формула.

Пример .Найти дифференциал функции y = .

Решение.f’(x) = ,dy = dx .

Приближённые вычисления с помощью дифференциала функции

Запишем приращение функции y = f(x) , так как последнее слагаемое более высокого порядка , то его отбросим и получим или

F (x₀ + отсюда -формула для приближённого вычисления с помощью дифференциала функции.

Пример. Вычислить sin 46⁰ .

Решение. Пусть f(x) = sin x ; f’(x) = cos x ;sin(x+

Примемx₀ + = 46⁰ ; x₀ = , тогда ⁰ =

Sin46⁰=sin ( = .

Ответ. Sin46⁰ .