Способы задания функции

1. Аналитический – формулой. F (x) =

2. Табличный. Составляется таблица , в которой ряд значений x и y.

3. Графический способ. 0 1 x y =

Определение.Элементарной называется функция , которую можно задать одним выражением , составленным из основных элементарных функций с помощью 4-х арифметических действий ( сложения, вычитания , умножения , деления).

Определение.Сложной функцией ( или функцией от функции ) y = f [ называется функция , определённая следующим образом: каждому x из области определения функции соответствует такое значение y , что y = f(u) , где u = Переменная u называется промежуточным аргументом сложной функции. Например : y = → y = , где u = sinx .

Определение.Функция y = f(x) называется чётной , если f(-x) = f(x). График такой функции симметричен относительно оси оy.

Определение.Функция y = f(x) называется нечётной, если f(-x) =- f(x) . График

нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Определение.Функция x = называется обратной для функции y = f(x) , если область определения функции y является областью изменения функции x.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Y= x³

x=y³

0 x

Предел функции при x

Определение.Число А называется пределом функции y= f(x) при x , если каково бы ни было положительное число , можно найти такое число N , что для всех x , больших N , выполняется неравенство Обозначается .

Коротко это определение можно записать так: число А называется пределом функции y = f(x) при x , если ( N _x (x .

Раскроем последнее неравенство . – < f(x) – A < или (A – < f(x) <( A + Геометрически это неравенство можно изобразить следующим образом:

y

A A+

A-

0 .N x

Определение. Число А называется пределом функции y =f(x) при x , если ( (x <M) .

Изобразим геометрически.

Y A+

A

A-

0 .M x

Предел функции при x

Определение. Число А называется пределом функции y=f(x) при x x₀ слева, если каково бы ни было положительное число , найдётся такое число N ( меньше x₀), что для всех x, лежащих между N и x₀ (N<x<x₀ ) ,выполняется неравенство Обозначается: .

Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀ слева , если ( x₀ ) (N<x<x₀ ) < . Геометрически:

Y

A+

A

A-

0 .N x₀ x

Определение.Число А называется пределом функции y =f(x) при x x₀ справа , если каково бы ни было положительное число найдётся такое число М >x₀ , что для всех x ,лежащих между x₀ и М ( x₀ <x<M) выполняется неравенство Обозначается

Число А называется пределом функции y =f(x) при x x₀ справа , если ( x₀ ) (x₀<x<M ) < . Геометрически:

y

A+

A

A-

0 x₀ .M x

Пределы слева и справа называются односторонними пределами.

Если оба предела равны , то говорят , что функция y(x) в точке x = x₀ имеет предел.

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀, если каково бы ни было >0, можно найти такие числа M и N ( N<x₀ <M) , что для всех x, лежащих в интервале ] N, M [ выполняется неравенство

Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀ , если ( ₀ <M) (x ) Геометрически:

y

A+

A

A-

0 .N .x₀ .M x

Определение. Любой интервал, содержащий точку x₀ называется окрестностью точки x₀ .

Пример.Проверить , есть ли предел функции f(x) = в

точке x₀ =3.

Решение. Найдём односторонние пределы: =2 ; =0. 2 , односторонние пределы не равны, значит в точке x₀ =3 функция не имеет предела. Геометрически:

y

0 .3 .4 x

Определение. Функция y=f(x) называется бесконечно малой (б.м) при x ,при x x₀, если её предел равен нулю.

Определение.Функция y=f(x) называется бесконечно большой (б.б) при x ,при x x₀ , если для любого положительного числа L можно подобрать такое число N, что для всех значений x>N , выполняется неравенство >L.

Символически это записывается так: ,

Принято символически обозначать: =const.

Примеры. функция; = 2

не б.м. функция.

Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором множестве М значений аргумента x, если существует такое число С , что для всех x выполняется неравенство <C.

Лекция17. Основные теоремы о бесконечно малых функциях и о пределах при x , x x₀ , x

Теорема 1.Если и две бесконечно малые функции , то и их - б.м. функция.

Теорема 2.Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.

Теорема 3.Произведение 2-х б.м. функций есть функция б.м. ; произведение б.м. функции на число есть функция б.м..

Теорема 4.Если функция y = f(x) является б.б. , то функция есть б.м. и обратно , если f(x) б.м. , то есть б.б. функция.

Теорема 5. Если функция имеет предел на некотором интервале , то она ограничена на нём.

Теорема 6. ( Если функция y = f(x) имеет предел , равный А , то её можно представить , как сумму числа А и некоторой б.м. функции , то есть , то f(x) = A + , где ) – б. м. функция.

Доказательство. Пусть , рассмотрим соотношение f(x) – A = , докажем , что - б.м. функция . Из определения предела следует

0) < ,то есть < , так как – сколь угодно малое положительное число , то и подавно мало и можно считать его б.м. величиной,ч. т.д..

Теорема 7. (обратная).Если функцию можно представить ,как сумму числа А и некоторой б.м. функции , то число А является пределом функции f(x).

Свойства пределов

1. Если im f(x)= A, im (x ) = B , то im{ f(x ) x)} = im f(x) im (x ).

2. Если im f(x)= A, im (x ) = B , то im{ f(x) = im f(x) im (x ).

3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

im{k (x )} = k im (x ), k – const.

4. Если im f(x)= A, im (x ) = B , В , то .

5. = ⁿ

6. с = сonst.