Лекция 22. Производные некоторых элементарных функций.

1. y = c – const. y

y=c

Производная обратной функции

Пусть y = f(x) и x = - 2 непрерывные взаимно обратные функции. Пусть известно f ’(x) = Чтобы найти , надо найти т.к. при функции непрерывны , то , окончательно = или

Примеры.

1. y = , обратная функция x = sin y в ( ; = .

2. Аналогично , ; ;

Производные гиперболических функций

Определение. Гиперболическим синусом sh x , гиперболическим косинусом сh x , гиперболическим th x , cth x называются функции вида :

Sh x = ; ch x = ; th x = ; cth =

Справедливы соотношения : c th x= ; cthx = .

Y y

y=chx

y=cthx

1 1

Y=thx

0 x 0 x

Y=shx -1

График функции y = ch x называется цепной линией.

( sh x)’ = ch x ; (ch x)’ = sh x ; (th x)’ = ; ( cth x)’ = - .

Доказать самим.

Таблица основных формул дифференцирования

для сложной функции y’_x =y’_u .

U = u(x)

1. (С)’ = 0. 11. ( .

2. ( 12. (

3. ( . 13. (arcsin u)’ =

4. ( 14. (arccos u)’ = - .

5. ( 15. (arctg u)’ = .

6. ( . 16. (arcctg u)’ = - .

7. (sin u)’ = cos u 17. (sh u)’ = ch u .

8. (cos u)’ = - sin u 18 . (ch u)’ = sh u .

9. (tg u)’ = . 19. ( th u)’ = .

10. (ctg u)’ =- . 20. (cth u)’ = - .

Примеры.

1. Найти y’ , если y = sin x³.

Решение.Воспользуемся формулой 7 из таблицы : ( sin x³ )’ = cos x³ =

= cos x³ . Ответ:( sin x³ )’ = cos x³ .

2. Найти y’ , если y = .

Решение.Воспользуемся формулой 6 из таблицы: ( )’ =

= Ответ:( )’ =