Сравнение бесконечно малых функций

Сравнить две бесконечно малые функции – это значит , найти предел их отношения при x ₀.

Пусть – б.м.функции.

1. Функции называются б. м. одного и того же порядка малости , если = c =const .

Пример.Сравнить функции: = x²-4 и = x²-5x +6при x

Решение.

Вывод.Функции одного и того же порядка малости.

2. Функция называется б.м. более высокого порядка малости чем , если = 0.

Пример.Сравнить функции = и = x при x .

Решение. .

Вывод.Функция более высокого порядка малости чем функция

3. Функция называется б.м. более низкого порядка малости чем если

.

4. Функции называются не сравнимыми ,если не существует. 69

Пример.Пусть = , , x .

Решение. = , не сущуствует.

Вывод.Функции не сравнимы.

5. Две функции называются эквивалентными или равносильными , если =1. Обозначается

Пример.Вычислить =

Вывод. arcsinx

Можно показать , что arctg x .

Составим таблицу эквивалентных функций: при x

Теорема. Предел отношения 2-х б.м. функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.

Доказательство. Пусть . Докажем , что . Имеем ]=

= ч.т.д. 1

Замечание.Под знаком предела можно заменять функции им эквивалентными.

Примеры. Вычислить : ^1/2x = = = .

.