Свойства дифференциала функции

Задача нахождения дифференциала функции сводится к нахождению производной функции , так как , поэтому все свойства производной распространяются и на дифференциал:

1). d(u

2). d(u

3). d( .

Пример 1.Найти дифференциал функции y = .

Решение.dy =

Пример 2. Найти дифференциал функции y, если sin(x+y) = .

Решение.Функция y задана неявно , найдём сначала y’ . Дифференцируем обе части равенства cos(x+y)(1+y’) = отсюда выражаем y’ .

Y’ = = , dy = dx.

Инвариантность формы дифференциала функции

Если y = f(u) , где u = , y = f[ , то = f’_u (u) → dy = f’_u .

du

Вывод.Форма дифференциала не зависит от того , является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Пример.Найти дифференциал функции y = sin .

Решение.y = sinu , u = , dy = cosu .

Геометрическое значение дифференциала функции

y

M₁

T

M N

x

0 x x+

М(x,y) ; M ₁(x+ ; NT = MN tg

NT = f’(x) →

Вывод. Дифференциал функции f(x) , соответствующий значениям x и равен приращению ординаты касательной к кривой y = f(x) в данной точке x.

Замечание. В данном случае но возможно и .

y N

M₂ Т

М₁

0 x NT = dy