Cвойства определителей
Определители их свойства , вычисление.
Определение.Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число , записываемое в виде таблицы
= det =
- элементы определителя, i – индекс строки, j – индекс столбца. Количество
=
.
Cтроки и столбцы называют рядами. Главная диагональ -
………
Если n = 2 , то
=
=
-
Если n = 3, то =
=
+
+
- -
-
-
.
Этот способ вычисления определителей называется правилом треугольника.
Cвойства определителей
1). Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями. Из этого свойства следует, что строки и столбцы в определителе равноправны.
=
2). Перестановка 2-х строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1).
3). Если определитель имеет 2 одинаковые строки или 2 одинаковых столбца, то он равен нулю.
С одной стороны по второму свойству = -
, т. е. 2
= 0 или
= 0 .
4). Умножение всех элементов некоторой строки или столбца на число равносильно умножению определителя на это число
. Общий множитель можно выносить из строки или столбца за знак определителя.
=
.
5).Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0 , то и сам определитель равен 0.
6). Если элементы 2-х строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
7).Если каждый элемент n-ой строки или n-го столбца определителя представляет собой сумму 2-х слагаемых , то определитель может быть представлен в виде суммы 2-х определителей, первый из которых имеет в n-ой строке , в n-м столбце первые из упомянутых слагаемых и те же элементы , что и исходный определитель , в остальных строках (столбцах) , а второй определитель имеет в n-ой строке в n-м столбце вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель в остальных строках (столбцах).
=
+
8). Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.
Пример.Вычислить определитель третьего порядка , применяя свойство 8.
Решение.
=
. Умножим 1-ю строку на (-1) и прибавим к третьей получим
=
= 1 + 0 + 0 – 0 – 0 – 2 = -1. Для проверки свойства 8 , вычислим исходный определитель по правилу треугольника
= 2 + 3 + 2 – 1 -3 -4 = -1.
Как видно из результатов вычислений , свойство 8 выполняется.
Прежде чем сформулировать свойство 9 , рассмотрим некоторые новые математические понятия.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1971;