Непрерывность функции

Пусть функция y= f(x) определена при некотором значении x₀ и y₀ = f(x₀ ). Если x получит приращение , то и функция y получит приращение , то есть f(x₀ + ) = y₀ + приращение функции.

Определение 1. Функция y= f(x) называется непрерывнойв точке x = x₀ , если она определена в этой точке и если , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример. Показать , что функция y = непрерывна в произвольной точке.

Решение.Область определения этой функции вся числовая ось.Составим приращение функции , перейдём к пределу =0

Вывод.Функция y = непрерывна всюду.

Определение 2. Пусть функция y= f(x) непрерывна в точке x₀ , тогда f(x₀ + или

В последнем равенстве обозначим x₀ + при x

. Окончательно, функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ , если

1. f(x) – определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности.

2. f(x) имеет предел при x = x₀ , это значит , что она имеет предел слева , справа и они равны между собой , и равны значению функции в точке x =x₀ .

Если в какой либо точке x₀ одно из условий не выполняется , функция называется разрывной в этой точке , точка x₀ называется точкой разрыва.

Определение.

1. Точкой разрыва 1-го рода функции y=f(x) называется такая точка x₀ в кото-

рой функция имеет левый и правый пределы неравные между собой.

2. Точкой разрыва 2-го рода или бесконечного разрываназывается точка x₀ в которой хотя бы один из пределов не существует или равен .

Пример 1.Установить характер точки разрыва функции y = .

Решение.В точке x=0 функция не существует , то есть ,значит x=0 точка разрыва 2-го рода. Чтобы изобразить график функции в окрестности точ-

ки разрыва , найдём пределы слева и справа.

y

; .

x

Пример 2.Установить характер точек разрыва для функции y=

Решение.В окрестности точки x=3 функция меняет своё значение , поэтому в этой точке может быть разрыв . Проверим это , найдём все пределы.

; =9; y(3)=9.

Ответ.Так как предел слева не равен пределу справа , то x=3 точка разрыва 1-го рода. y

9- - - - - -

7-- - - - -

0 3 x

Теорема 1.Если функции и непрерывны в точке x₀ , то их сумма , произведение, отношение также непрерывны в точке x₀ , при , то есть - непрерывные функции.

Теорема 2.Сложная функция y = f [ , образованная из 2-х непрерывных функций f (x) и есть функция непрерывная.

Пример.Y = sin (x³ + 4x – 2) ; y = .