Аппроксимация тригонометрическими полиномами кусочно-гладких функций


Функция называется кусочно-гладкой на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, в каждом из которых – гладкая функция, т.е.непрерывна вместе со своей первой производной.

 

Теорема Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой функции на отрезке сходится к значению в точке ( сходиться к в точках непрерывности функции).   В обеих граничных точках сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений в этих точках, т.е.
Пример Найти ряд Фурье для функции Представить графически приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней , . Оценить погрешность среднеквадратического приближения .
Решение Определяем коэффициенты Фурье (по формуле (4)) Сделаем замену переменных : . Тогда и формулы (3), (4) примут вид:  
  (3')
  (4')

Т.е. (3), (4) и (3'), (4') эквивалентны! Считать удобнее по формулам (3'), (4').

Определяем коэффициенты Фурье (у нас - функция определена на интервале ):

 

 

 

Т.о. ряд Фурье имеет вид

Многочлен наилучшего приближения получаем из последней формулы:

Погрешность приближения находим по формуле:

( следует из )

т.к. ,

то

 

 

Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 2445;

Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.