Алгоритм оценочных (штрафных) функций

Умело подобранные оценочные функции (в некоторых источниках - штрафные функции) могут значительно сократить полный перебор и привести к решению достаточно быстро в сложных задачах. В нашей задаче о людоедах и миссионерах в качестве самой простой целевой функции при выборе очередного состояния можно взять число людоедов и миссионеров, находящихся "не на месте" по сравнению с их расположением в описании целевого состояния. Например, значение этой функции f=x+y для исходного состояния f₀=6, а значение для целевого состояния f₁=0.

Эвристические процедуры поиска на графе стремятся к тому, чтобы минимизировать некоторую комбинацию стоимости пути к цели и стоимости поиска. Для задачи о людоедах введем оценочную функцию:

где d(n) - глубина вершины n на дереве поиска и w(n) - число находящихся не на нужном месте миссионеров и людоедов. Эвристика заключается в выборе минимального значения f(n). Определяющим в эвристических процедурах является выбор оценочной функции.

Рассмотрим вопрос о сравнительных характеристиках оценочных целевых функций на примере функций для игры в "8" ("пятнашки"). Игра в "8" заключается в нахождении минимального числа перестановок при переходе из исходного состояния в конечное (терминальное, целевое).

Рассмотрим две оценочные функции:

где Q(n) - число фишек не на месте; P(n) - сумма расстояний каждой фишки от места в ее целевой вершине; S(n) - учет последовательности нецентральных фишек (штраф +2 если за фишкой стоит не та, которая должна быть в правильной последовательности; штраф +1 за фишку в центре; штраф 0 в остальных случаях).

Сравнение этих оценочных функций приведено в таблица 3.1.

На основе сравнения этих двух оценочных функций можно сделать выводы.

· Основу алгоритма поиска составляет выбор пути с минимальной оценочной функцией.

· Поиск в ширину, который дает функция h₁, гарантирует, что какой-либо путь к цели будет найден. При поиске в ширину вершины раскрываются в том же порядке, в котором они порождаются.

· Поиск в глубину управляется эвристической компонентой 3S(n) в функции h₂ и при удачном выборе оценочной функции позволяет найти решение по кратчайшему пути (по минимальному числу раскрываемых вершин). Поиск в глубину тем и характеризуется, что в нем первой раскрывается та вершина, которая была построена самой последней.

· Эффективность поиска возрастает, если при небольших глубинах он направляется в основном в глубь эвристической компонентой, а при возрастании глубины он больше похож на поиск вширь, чтобы гарантировать, что какой-либо путь к цели будет найден. Эффективность поиска можно определить как E=K/L*N*S, где K и S (трудоемкость) - зависят от оценочной функции, L - длина пути, N - число вершин, открытых при нахождении пути. Если договориться, что для оптимального пути E=1, то K=L⁰*N⁰*S⁰.

Алгоритм минимакса

В 1945 году Оскар Моргенштерн и Джон фон Нейман предложили метод минимакса, нашедший широкое применение в теории игр. Предположим, что противник использует оценочную функцию (ОФ), совпадающую с нашей ОФ. Выбор хода с нашей стороны определяется максимальным значением ОФ для текущей позиции. Противник стремится сделать ход, который минимизирует ОФ. Поэтому этот метод и получил название минимакса. На рис. 3.5 приведен пример анализа дерева ходов с помощью метода минимакса (выбранный путь решения отмечен жирной линией).

Рис. 3.5.Дерево ходов

Развивая метод минимакса, назначим вероятности для выполняемых действий в задаче о миссионерах и людоедах:

Интуитивно понятно, что посылать одного людоеда или одного миссионера менее эффективно, чем двух человек, особенно на начальных этапах. На каждом уровне мы будем выбирать состояние по критерию P_i. Даже такой простой подход позволит нам избежать части тупиковых состояний в процессе поиска и сократить время по сравнению с полным перебором. Кстати, этот подход достаточно распространен в экспертных продукционных системах.