Алгебраические дополнения и миноры

Для наглядности снова раскроем определитель 3-го порядка по правилу треуголь-ника

= = + + - - -

= ( - ) + ( - ) + ( - ).

Выражения в скобках называются алгебраическими дополнениямиэлементов первой строки и обозначаются:

= - ; = ; = -

Аналогично, можно сгруппировать члены относительно элементов любой строки или любого столбца и получить алгебраические дополнения элементов этих строк или столбцов. Таким образом , значения определителя равно произведе-

ниям элементов какой – либо строки или столбца на их алгебраические допол-

нения. 6

9). Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов этих строк или столбцов.

Находить алгебраические дополнения таким образом нерационально, есть дру-

гой способ.

Определение. Минором данного элемента определителя n-го порядка называ- ется определитель ( n – 1 ) –го порядка , получаемый из данного определителя путём вычёркивания той строки и того столбца на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента = = = , а минор элемента = = = - . Сравним эти миноры с алгебраическими дополнениями этих же элементов. Приходим к выводу, что миноры и алгебраические дополнения с точностью до знака совпадают, аналитически это выражается формулой

Замечание.Сумма произведений элементов какой –либо строки или столбца на алгебраические дополнения элементов другой строки или столбца равна 0.

Вывод:девятое свойство является способом вычисления определителей порядка выше третьего.

Пример.Применяя свойства , вычислить определитель 4-го порядка.

D =

Решение.Произведём следующие действия: 1) из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 2-й строки; 2) к элементам 3-й строки прибавим удвоенные элементы 2-й строки; 3) из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки. Тогда исходный определитель преобразуется к виду

D = .

Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца:

D = - .

Прибавляя к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и вычитая из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, получим

D = - .

Разложим определитель по элементам 1-го столбца:

D = - = 70.

Определение. Определитель, у которого элементы , стоящие ниже или выше диагонали все нули , имеет диагональный вид.

Примеры.

.