Лекция 4. Общая теория решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

Определение. Система (1) называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если она не имеет решений.

Определение.Совместная система линейных уравнений называется определённой , если она имеет единственное решение и неопределённой, если она имеет бесчисленное множество решений.

Определение.Две совместные системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и обратно.

Теорема Кронекера - Капелли. Кронекер (1823-1891)- немецкий математик. Капелли (1855-1910)-итальянский математик.

Для того , чтобы система линейных уравнений (1) была совместна , необходимо и достаточно , чтобы ранг матрицы системы

был равен рангу её расширенной матрицы

B = , полученную путём добавления к основной матрице А столбца из свободных членов системы.

1). Если r(A) = r(B) = n – числу неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.

2). Если же r(A) = r(B) < n , то система (1) имеет бесчисленное множество решений, зависящих от (n – r) параметров (свободных неизвестных).

МЕТОД ГАУССА ( Метод последовательных исключений)

Этот метод продемонстрируем на примере , так как он запрограммирован на электронных машинах и хорошо там просчитывается .

Пример.Решить систему уравнений методом Гаусса.

Установим совместность системы , найдём ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных

det A = =-9+1+30+6-6- 0, значит ранг матрицы А равен 3. Составим расширенную матрицу

В = , так как в ней содержится det A , то rang B также равен 3. Делаем вывод : согласно теореме Кронекера-Капелли r(A)=r(B)=3-числу неизвестных , поэтому система совместна и имеет единственное решение.

Решение. Из 1-го уравнения выражаем и подставляем во 2-е и 3-е Из 2-го уравнения выражаем и подставляем в 3-е.

Теперь обратным ходом из 3-го выражаем и подставляем во 2-е уравнение, из 2-го выражаем и подставляем 1-е , окончательно получаем: 3; = 2; 1.

Ответ: ; ; 3.

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

ЗАДАЧА.Решить систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

Решение.Умножим обе части первого уравнения на , а 2-го на и вычтем из 1-го уравнения 2-е.

+

. Числитель этой дроби равен определителю –
. Знаменатель равен - , обозначим = , а через , тогда = . Аналогичными действиями можно получить , где . Решение системы запишем в виде :

, . Для системы , состоящей из трёх уравнений с тремя неизвестными эти формулы примут вид:

, это и есть формулы Крамера, где

, , =

. - главныйопределитель; , , - побочные.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение. = = 79 0 .Система совместна. = =395, =-158 , = = 237.

= = 5 ; = ; = . Ответ. .

Из формул Крамера следует :

1). 0 система имеет единственное решение.

2). = 0 , но хотя бы один из 0 , то система не имеет решения.

3). = , то система имеет бесчисленное множество решений или совсем не имеет решения.

18