Алгебраические критерии устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a_opⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n = a_o(p-p₁)(p-p₂)...(p-p_n) = 0,

где p₁, p₂, ..., p_n - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать какa_i = -|a_i| < 0. Подставим их в уравнение:

a₀ (p + |a₁|) (p + |a₂| - j 2) (p + |a₂| + j 2) ... = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a₀ (p + |a₁|) ((p + |a₂|)2 + ( 2)2) ... = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + a₂ p^n-2 + ... + a_n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a₀,a₁,...,a_n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a₀ > 0, a₁ > 0, ... , a_n > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a₀ > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке - с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c_k,i = c_{k+ 1,i - 2} - ri c_{k + 1,i - 1}, гдеri = c_{1,i - 2}/c_{1,i - 1}, i 3 - номер строки, k - номер столбца.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c₁₁, c₁₂, c₁₃,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.

Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, на сколько далеко отстоит она от границы устойчивости.

Критерий Гурвица

Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики: a₀p + a₁ = 0. Определитель Гурвица: = ₁ = a₁ > 0 при a₀ > 0, то есть условиие устойчивости:a₀ > 0, a₁ > 0;

2)n = 2 => уравнение динамики: a₀p² + a₁p + a₂ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, D₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = a₁a₂ > 0, так как a₃ = 0, то есть условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3 => уравнение динамики: a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ > 0, 3 = a_{3 2} > 0, условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0, a₁a₂ - a₀a₃ > 0;

Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя _n = a_{n n-1} = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a_n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор _n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя _n-1. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель _n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным (рис.67). Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Мы рассмотрим два наиболее распространенных частотных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.