Алгебраические критерии устойчивости

 

Критерий Гурвица

 

В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости систем, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями n – ного порядка. Критерий Гурвица сформулирован таким образом – если все коэффициенты характеристического уравнения системы (2.20.) положительны(an > 0)и положительны все определители Гурвица, то система устойчива.

При составлении определителей Гурвица применяются следующие правила:

  1. Из коэффициентов уравнения (2.20.) составляется матрица коэффициентов
  2. По главной диагонали матрицы выписывают все коэффициенты от aп-1 до a0в порядке убывания индекса
  3. Дополняют столбцы матрицы вверх от диагонали коэффициентами с последовательно убывающими, а вниз – с последовательно возрастающими индексами
  4. В случае отсутствия коэффициента, а также если их индексы больше nили меньше 0, на места коэффициентов ставят нули.

В результате получаем матрицу коэффициентов следующего вида:

 

(2.24.)

 

Определители Гурвица составляются на основании матрицы коэффициентов (согласно пунктирным линиям матрицы (2.24.) и имеют следующий вид:

 

(2.25.)

 

 

(2.26.)

 

(2.27.)

Все последующие определители также должны быть больше нуля. Последний (n-ый) определитель будет включать в себя всю матрицу коэффициентов (2.24.), но обычно его выражают через предпоследний определитель Гурвица (Dn-1):

 

(2.28.)

 

Правильность такого выражения следует из того, что в последнем столбце определителя Δnстоят нули, за исключением a0.

При условии, что все определители Гурвица больше нуля, можно определить границы устойчивости системы. Этого можно достигнуть, приравняв к нулю последний определитель (Dn = 0), а согласно формуле (2.28.) для этого имеется два варианта решения:

1. a0 = 0 – граница устойчивости первого типа (нулевой корень)

2. Dn-1 = 0 – колебательная граница устойчивости

 

Недостатками критерия Гурвица являются:

 

  1. Сложность вычислений для уравнений высоких порядков
  2. Невозможность определения в неустойчивой системе недостатков, для приведения ее к устойчивой с помощью необходимых изменений.

 

 






Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 963;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.007 сек.