Свойства скалярного произведения.

1° коммутативность: a • b = b •· a.

a • b= │a│·│b│· cos φ= │b│·│a│· cos φ= b • a.

2° условие перпендикулярности: a • b= 0, т.к. a _┴ b или a или b= 0.

1. a _┴ b, φ= 90°, cos 90°= 0, a • b= │a│·│b│·0= 0.

2. a= 0, │a│= 0, a • b= 0 ·│b│· cos φ= 0.

3° (λa)•b= λ(a•b).

(λa)•b= │λa│·│b│· cos φ=λ│a│·│b│· cos φ= λ(a•b).

4° a•(b + c)= a•b + a•c.

a•(b + c)= │a│· (b + c)= │a│·( пр_а b + пр_а c)= │a│·пр_а b +│a│· пр_а c=

= a•b + a•c.

5° скалярный квадрат: а • а= │a│².

а • а=│a│·│а│· cos 0°=│a│².

Следствие: .

Скалярное произведение координатных ортов.

i × j= 0, так как i ^ j (из 2°);

i × k= 0, так как i ^ k (из 2°);

k × j= 0, так как k ^ j (из 2°);

i × i=│i│² = 1²=1;

j × j=│j│² = 1²=1;

k × k=│k│² = 1²=1.

Скалярное произведение в координатной форме.

Возьмем два вектора в координатной форме

а= (а_х, а_у, а_z)= a_xi + a_yj + a_zk, b= (b_x, b_y, b_z)= b_xi + b_yj + b_zk.

a • b= (a_xi + a_yj + a_zk )•( b_xi + b_yj + b_zk)= a_xi•b_xi + a_xi•b_yj + a_xi •b_zk + a_yj• b_xi +

+ a_yj• b_yj + a_yj •b_zk + a_zk •b_xi + a_zk•b_yj + a_zk •b_zk = a_x b_x i• i + a_x b_y i•j + a_x b_z i•k+

+a_y b_x i• j + a_y b_y j• j + a_y b_z i• k + a_z b_x i•k + a_z b_y k• j + a_z b_z k•k=

= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Если векторы заданы в координатной форме, то для вычисления скалярного произведения используем формулу:

a • b= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Приложения скалярного произведения.

1) Угол между векторами:

.

Ðj - острый, cos j> 0, отсюда следует, что a • b> 0.

Ðj - тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a • b< 0.

Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a • b= 0.

2) Проекция вектора на вектор:

.