Евклидово пространство.


Определение: Линейное пространство называется евклидовым, если в нем введена операция скалярного произведения, которая ставит в соответствие любым векторам х и у Є L число x•y, удовлетворяющее следующим свойствам:

x•y=y•x;

(lx)• y= l(x•y);

x•(y + z)= x•y + x•z;

x • x ³ 0,причем скалярный квадрат x•x= 0 ↔ х= 0.

В Евклидовых пространствах можно ввести понятие длины вектора (модуль вектора) и угол между векторами .

Нужно показать, что ïcos jï£ 1.

Для этого докажем неравенство Коши - Буняковского (Шварца):

0£│a • b│£│a│·│b│.

Док-во: Рассмотрим скалярный квадрат

(a- lb)•(a- lb)= a • a- la • b- l a • b + l2b • b= │a│2- 2la • b+ l2│b│2³ 0, как скалярный квадрат.

Последнее неравенство рассмотрим как квадратное относительно l.

l2│b│2- 2λa•b +│a│2³ 0.

Чтобы это неравенство выполнялось при любом λ, нужно, чтобы дискриминант D£ 0.

D= b2- 4ac= (-2a•b)2- 4│b│2·│a│2£ 0.

4(a•b) 2- 4│b│2·│a│2£ 0 ê: 4;

(a•b) 2£ │b│2·│a│2.

Извлекаем корень :

0£│a • b│£│a│·│b│.

Ч.т.д.

 

На основании неравенства Коши - Буняковского определение косинуса угла между векторами Евклидова пространства корректно.

Замечание: Евклидово пространства размерности n принято обозначать En,

E2 - евклидово пространство всех векторов на плоскости, E3 - в пространстве.



Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1488;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.