Лекции 17 Евклидово пространство

1 2 34

Содержание лекции: Евклидово пространство. Ортонормированный базис. Понятие метрического пространства. Метрическое пространство Rⁿ.

Рассмотрим линейное пространство L. Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число введем в этом пространстве еще одну операцию – операцию скалярного умножения.

Определение 1

Если каждой паре векторов а, b Î L по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а, b) и удовлетворяющее условиям

1. (а, b) = (b,а),

2. (а + с, b) = (а, b) + (с, b),

3. (aа, b) = a(а, b)

4. > 0 " а ¹ 0 и = 0 Û а = 0,

то это правило называется скалярным умножением, а число (а, b) называется скалярным произведением вектора а на вектор b.

Число называют скалярным квадратом вектора а и обозначают , т. е. .

Условия 1) – 4) называют свойствами скалярного произведения: первое – свойством симметрии (коммутативности), второе и третье – свойствами линейности, четвертое – положительной определенности, а условие Û называют условием невырожденности скалярного произведения.

Определение 2

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство, на котором введена операция скалярного умножения векторов.

Евклидово пространство обозначают Е.

Свойства 1) – 4) скалярного произведения при этом называют аксиомами евклидова пространства.

Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

· Пространства V² и V³ являются евклидовыми пространствами, т.к. на них скалярное произведение, удовлетворяющее всем аксиомам, было определено следующим образом

· В линейном пространстве R_п(x) многочленов степени не выше п скалярное умножение векторов и можно ввести по формуле

Проверим выполнение свойств скалярного произведения для введенной операции.

1) .

2) Рассмотрим . Пусть , тогда

4) . Но сумма квадратов любых чисел всегда больше либо равна нулю, причем равна нулю тогда и только тогда, когда все эти числа равны нулю. Следовательно, , если многочлен не равен тождественно нулю (т.е. среди его коэффициентов есть отличные от нуля) и Û когда , что означает .

Таким образом, все свойства скалярного произведения выполняются, значит, равенство определяет скалярное умножение векторов пространства R_п(x), а само это пространство является евклидовым.

· В линейном пространстве Rⁿ скалярное умножение вектора на вектор может быть определено по формуле

Покажем, что в любом линейном пространстве может быть определено скалярное умножение, т.е. любое линейное пространство можно сделать евклидовым пространством. Для этого возьмем в пространстве Lⁿ произвольный базис {а₁, а₂, …, а_п}. Пусть в этом базисе

а = a₁а₁+ a₂ а₂+ …+ a_па_п и b = b₁а₁+ b₂а₂+ …+ b_па_п.

Положим

(а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a_пb_п. (*)

Проверим выполнение свойств скалярного произведения:

1) (а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a_пb_п= b₁a₁+ b₂a₂+ …+b_пa_п= (b, а),

2) Если ,то

Тогда

(а + с, b) =

= (а, b) + (с, b).

3. (lа, b) = (la₁)b₁+ (la₂)b₂+ …+ (la_п)b_п = la₁b₁ + la₂b₂+ …+ la_пb_п =

= l(a₁b₁) + l(a₂b₂) + …+ l(a_пb_п) = l (а, b).

4. " а ¹ 0 и тогда и только тогда, когда все a_i = 0, т.е. а = 0.

Следовательно, равенство (а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a_пb_п определяет в Lⁿ скалярное произведение.

Заметим, что рассмотренное равенство (а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a_пb_п для различных базисов пространства дает различные значения скалярного произведения одних и тех же векторов а и b. Более того, скалярное произведение может быть определено и каким-либо принципиально другим способом. Поэтому будем называть задание скалярного произведения с помощью равенства (*) традиционным.

Определение 3

Нормойвектораа евклидова пространства называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора.

Норму вектора обозначают ||а||, или [а], или | а |. Итак, то определению,

||а|| .

Имеют место следующие свойства нормы:

1. ||а|| = 0 Û а =0.

2. ||aа||= |a|.||а|| "a ÎR.

3. |(а, b)| £ ||а||.||b|| (неравенство Коши - Буняковского).

4. ||а+b|| £ ||а|| + ||b|| (неравенство треугольника).

В евклидовых пространствах V² и V³ с традиционным образом заданным скалярным умножением норма вектора `а есть его длина

||`а || = |`а |.

В евклидовом пространстве Rⁿ со скалярным умножением норма вектора равна

|| a || = .

Определение 4

Вектор а евклидова пространства называется нормированным(или единичным), если его норма равна единице: || a|| = 1.

Если а¹ 0, то векторы и – единичные векторы. Нахождение для заданного вектора асоответствующего ему единичного вектора (или ) называется нормированием вектора а.

Из неравенства Коши – Буняковского следует, что

, откуда ,

поэтому отношение можно рассматривать как косинус некоторого угла.

Определение 5

Угол j (0£ j <p), для которого cosj = , называется углом между векторами а и b евклидова пространства.

Таким образом, угол между векторами а и b евклидова пространства определяется по формуле

j = = arccos .

Заметим, что введение скалярного умножения в линейном пространстве дает возможность производить в этом пространстве «измерения», подобные тем, которые возможны в пространстве геометрических векторов, а именно измерение «длин» векторов и «углов» между векторами, при этом выбор формы задания скалярного умножения аналогичен выбору «масштаба» для таких измерений. Это позволяет распространить на произвольные линейные пространства методы геометрии, связанные с измерениями, тем самым значительно усилив средства исследования математических объектов, встречающихся в алгебре и анализе.

Определение 6

Векторы а и b евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

= 0.

Заметим, что если хотя бы один из векторов нулевой, то равенство выполняется. Действительно, т.к. нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0.а, то (0, b) = (0.а, b) = 0.(а, b) = 0. Следовательно, нулевой вектор ортогонален к любому вектору евклидова пространства.

Определение 7

Система векторов а₁, а₂, …, а_т евклидова пространства называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т.е.

(а_i, а_j) = 0 "i ¹ j, i, j =1,2,…,m.

Система векторов а₁, а₂, …, а_т евклидова пространства называется ортонормированной (или ортонормальной), если она ортогональная и каждый ее вектор – нормированный, т.е.

(а_i, а_j) = , i, j = 1,2, …, m.

Ортогональная система векторов обладает свойствами:

1. Если – ортогональная система ненулевых векторов, то система полученная нормированием каждого из векторов данной системы, также является ортогональной.

2. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Если всякая ортогональная, а значит, и ортонормированная система векторов линейно независима, то может ли такая система образовывать базис заданного пространства? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3

Во всяком п-мерном евклидовом пространстве ( ) существует ортонормированный базис.

Доказательство

Доказать теорему – значит найти этот базис. Поэтому поступим следующим образом.

Рассмотрим в заданном евклидовом пространстве произвольный базис {а₁, а₂, …, а_n}, по нему построим ортогональный базис {g₁, g₂, …, g_n}, а затем нормируем векторы этого базиса, т.е. положим . Тогда система векторов {е₁, е₂,…, е_n} образует ортонормированный базис.

Итак, пусть Б:{а₁, а₂, …, а_n} – произвольный базис рассматриваемого пространства.

1. Положим

g₁ = а₁, g₂ = а₂+ g₁

и подберем коэффициент так, чтобы вектор g₂ был ортогонален вектору g₁, т.е. (g₁, g₂) = 0. Поскольку

,

то из равенства находим = – .

Тогда вектор g₂= а₂ – g₁ ортогонален вектору g₁.

Далее положим

g₃ = а₃+ g₁+ g₂ ,

и подберем и так, чтобы вектор g₃ был ортогонален и g₂, и g₃, т.е. (g₁, g₃) = 0 и (g₂, g₃) = 0. Находим

Тогда из равенств и находим соответственно и .

Таким образом, вектор g₃= а₃ –` g₁ – g₂ ортогонален векторам g₁ и g₂.

Аналогично построим вектор

g₄ = а₄ –` g₁ – g₂ – g₃.

Нетрудно проверить, что (g₁, g₄) = 0, (g₂, g₄) = 0, (g₃, g₄) = 0.

Действую далее подобным образом, получим

g_п = а_п – g₁ – g₂ – … – g_п_–1,

причем этот вектор, в силу взаимной ортогональности векторов g₁, g₂, …, g_п_–1, будет ортогонален каждому из этих векторов.

Таким образом, система векторов { g₁, g₂, …, g_п}, где

g₁ = а₁,

g_k = а_k – g₁ – g₂ – … – g_k_–1, k = 2, 3, …, n,

образует ортогональную систему векторов, которая, согласно теореме 5.2, линейно независима, и, следовательно, образует ортогональный базис п-мерного евклидова пространства.

2. Положим теперь , , , …, . В силу теорем 5.1 и 5.2, векторы е₁, е₂, …, е_n попарно ортогональны и линейно независимы, а значит, образуют ортонормированный базис рассматриваемого пространства.

Таким образом, во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. ▲

Из доказательства этой теоремы следует алгоритм построения ортонормированного базиса (процесс ортогонализации):

1) Взять произвольный базис заданного евклидова пространства.

2) Найти векторы ортогонального базиса по формулам

g₁ = а₁,

g_k = а_k – g₁ – g₂ – … – g_k_–1, k = 2, 3, …, n.

3) Нормировать полученную систему векторов {g₁, g₂, …, g_п}, т.е. положить .

4) Записать ортонормированный базис {е₁, е₂, …, е_n}.

В дальнейшем ортонормированный базис будем обозначать

Б₀:{е₁, е₂, …, е_n}.

Отметим следующие свойства ортонормированного базиса.

1) В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений их соответствующих координат: (а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a_пb_п.

2) Если в некотором базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то этот базис – ортонормированный.

Таким образом, всякий базис евклидова пространства будет ортонормированным, если скалярное произведение определено как сумма произведений координат векторов в этом базисе.

3) В ортонормированном базисе норма вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

|| a || = .

Определение 8.

Множество М называется метрическим пространством, если существует правило, по которому любым двум его элементам х и у поставлено в соответствие некоторое действительное число r(х,у) называемое расстоянием между этими элементами, удовлетворяющее условиям:

1. r(х,у) = r(у,х);

2. r(х,у)³0 для любых х и у, причем r(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х = у;

3. r(х,у) £ r(х, z) + r(у, z) для любых трех элементов х, у, zÎМ.

Элементы метрического пространства называются точками.

Примером метрического пространства является пространство Rⁿ, в нем расстояние между точками (векторами этого пространства) может быть определено по формуле r(х,у) = || х – у ||.