Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

Возьмем в пространстве произвольную точку М(х, у, z). Первая координата х – абсцисса ‒ это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Третья z – аппликата – на ось OZ.

М

α

N

Проекция т. М на α

Чтобы найти проекцию точки на прямую, нужно через точку провести плоскость перпендикулярно этой прямой.

p

х

z

у

О

М (х, у, z)

Определение: Вектор, соединяющий начало координат т. О с произвольной точкой пространства называется радиус- вектор этой точки.

Радиус- вектор т. М – ОМ.

Найдем координаты радиус-вектора ОМ:

ОА= xi, ОВ= yj, ОС= zk.

OM= OP+ PM= OA+ OB+ OC= xi+ yj+ zk= (x, y, z).

Вывод: координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки ОМ= (x, y, z).

Вектор ОМ является диагональю параллелепипеда, по свойству диагоналей d²= a²+ b²+ c² . Отсюда следует, что │ОМ│²= x²+ y²+ z². Извлекая, квадратный корень получаем длину .

Возьмем две произвольные точки т. А(x₁, y₁, z₁) и т. В (x₂, y₂, z₂). Соединим АВ.

B

А

z

х

y

O

Вспомогательные векторы: ОА= (x₁, y₁, z₁), ОВ= (x₂, y₂, z₂).

АВ= ОВ - ОА= (x₂, y₂, z₂)- (x₁, y₁, z₁)= (x₂- x₁, , y₂- y₁, z₂- z₁).

Вывод: чтобы найти координаты вектора нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

АВ= (x₂- x₁, , y₂- y₁, z₂- z₁).

Пример. Даны 3 точки т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его длину │АВ│, m= AB- 2BC.

Проекция вектора на ось.

Определение: Проекцией вектора на ось называется число, модуль которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если координата конца вектора больше координаты начала вектора, и со знаком «-», если координата начала больше координаты конца.

Через т. А и т. В проведем плоскости перпендикулярныеоси l, и найдем точки пересечения плоскости с осью.

Перенесем вектор АВ в точку А₁. А₁В₁(проекция)=АВ. Из прямоугольного треугольника следует, что проекция АВ на ось l будет равна:

│АВ│· cos φ= пр_l AB.

пр_l AB=│АВ│· cos φ, где φ - это угол между вектором и осью.

Возможны 3 случая:

1) Ðφ- острый, пр_l AB> 0, т.к. cos φ> 0.

l

φ

В

А

2) Ðφ- тупой, пр_l AB< 0, т.к. cos φ< 0.

A

B

φ

l

3) Ðφ= 90°, пр_l AB= 0, т.к. cos φ= 0.

A

B

φ

l

Теоремы о проекциях.

Теорема 1. пр_l(а + b)= пр_l a + пр_l b.

Теорема 2. пр_l (λа)= λ пр_l а.