Линейное векторное пространство. Базис. Размерность

Рассмотрим непустое множество V элементов – «векторов», зададим на нём две линейные операции – сложение векторов и умножение вектора на действительное число, тогда, если эти линейные операции обладают ниже перечисленными свойствами, то это непустое множество V называется линейным векторным пространством. Выпишем эти свойства:

1º. ; 2°. + ;

3º. ; 4°. ;

5º. a =a +a ; 6°(a₁+a₂) =a₁ +a₂ ;

7º. a₁·(a₂ )=(a₁·a₂) ; 8°. =a , (т.е. a=1), где a₁, a₂, a₃ R.

Линейной комбинацией системы векторов , , …, называется вектор = a₁ +a₂ +…+a_k , а числа a_i – ее коэффициенты.

Рассмотрим линейную комбинацию, являющуюся нуль вектором:

a₁ +a₂ +…+a_n = (*).

Заметим, что равенство (*) имеет место всегда для нулевых коэффициентов (a_i – все нули), но может возникнуть та ситуация, когда оно выполняется и для ненулевой системы коэффициентов, тогда в этом случае говорят, что данная система векторов – линейно зависима, в противном случае – линейно независима (т.е. когда равенство выполняется только для нулевой системы коэффициентов).

Остановимся на примерах:

1°. ; , причем || , . Тогда =a· a· , = –a, т.е. система коэффициентов – нетривиальная, значит, по определению эта пара векторов есть пример линейно зависимой системы.

2°. , где – компланарны и . Тогда =a· +b· a· +b· – =a, =b, , следовательно, имеем пример линейно зависимой системы.

3°. , где . Тогда, образовав равенство a· , получим, что оно возможно только для случая, когда a= 0 (т.е. только для тривиальной системы коэффициентов), значит, один ненулевой вектор образует линейно независимую систему.

4°. , где , тогда равенство a· возможно для любых a, т.е. и для a 0,значит, это пример линейно зависимой системы.

5°. Неколлинеарные векторы образуют линейно независимую систему векторов (методом от противного было бы получено, что они коллинеарны).

6°. Некомпланарная тройка векторов образует линейно независимую систему (по аналогии – метод от противного привел бы нас к тому, что они компланарны).

Из определения линейно зависимой системы векторов можно получить признак (критерий) линейной зависимости: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Базисом векторного пространства называется упорядоченная система линейно независимых векторов, через которую можно разложить любой вектор пространства, причем, коэффициенты разложения вектора пространства V будут называться координатами этого вектора в базисе.

Размерностью векторного пространства называется число векторов базиса.

Так, если рассмотреть базис в V³, то или (X; Y; z).

Формулы перехода от одного базиса к другому

Рассмотрим задачу перехода от одного базиса к другому, а именно: найдем связь координат произвольного вектора в разных базисах. Для простоты рассмотрим пространство V² и пусть исходный базис в нем . Другой базис { } задан в исходном таким образом:

=( ; ), =( ; ).

Вектор (x; y) – старые его координаты;

( ; ) – новые его координаты.

. Но – базис, значит, последнее равенство имеет место только при нулевых коэффициентах (согласно определению линейно независимой системы). Итак, получим: – формулы перехода от одного базиса к другому.

Матрица Т перехода от одного базиса к другому имеет вид: Т= . Заметим, что первый столбец (а₁₁; а₂₁) этой матрицы – координаты первого вектора нового базиса, а второй столбец (а₁₂; а₂₂) – координаты второго вектора нового базиса в исходном базисе . В матричном виде эти формулы запишутся: Х=ТX ¢, где Х= , X ¢= .

Аналогичные формулы можно получить и для n-мерного пространства.