Биномиальный закон распределения

Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, если она может принимать значения 0, 1, 2, …, n

с вероятностями, которые находятся по формуле Бернулли:

; где

Пример. Пусть производится произвольное извлечение трех словоформ из научно-технического текста. Считая, что вероятность употребления существительного в научно-техническом тексте равна 0,4, для СВ Х ‑ «число выбраных существительных», найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

Решение. СВ Х распределена по биномиальному закону, так как испытания являются независимыми, а вероятность появления существительного в каждом из трёх испытаний постоянна.

Здесь n=3, р=0,4, q=1-р=0,6. Тогда М(Х)=n р=3 0,4=1,2; D(Х)=n р q= 3 0,4 0,6=0,72.

Биномиальное распределение СВ используется при описании употребления фонем, графем и их классов, а так же при описании грамматических категорий, при условии, что n – количество испытаний и m - число появлений события А, невелико. В конкретных лингвистических задачах это условие не всегда соблюдается. Например, вероятность появления словоформы ветер в большом тексте мала. Для описания редких лингвистических событий используется распределение Пуассона.

Закон Пуассона

Дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она может принимать значения 0, 1, 2, …, n

с вероятностями, которые находятся по формуле Пуассона:

где

Пример. Вероятность появления опечатки на каждой странице текта, содержащего 200 страниц, равна 0,01. Определить:

а) вероятность появления трёх опечаток в тексте;

б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X) СВ Х= «количество опечаток в тексте».

Решение. Так как опечатка – редкое событие (р=0,01), то воспользуемся формулой Пуассона для нахождения вероятностей редких событий: где р=0,01, n=200, а= n р=0,01 200=2.

Тогда

б) Случайная величина Х – «количество опечаток в тексте» распределена по закону Пуассона, для которого М(Х)=D(X)=а=0,2.