Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание M(X) – характеризует среднее значение СВХ.

Для ДСВ математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.

Свойства М(Х):

а) математическое ожидание постоянной есть эта постоянная: М(С)=С .

б) постоянную можно выносить за знак математического ожидания: М(С∙Х)=С∙М(Х).

в) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(Х+У)=М(Х)+М(У).

г) математическое ожидание отклонения СВ от М(Х) равно нулю: М(Х- М(Х))=0.

д) математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(Х∙У)=М(Х)∙М(У).

2. Дисперсия D(X) характеризует разброс значений случайной величины относительно математического ожидания ( на сколько в среднем в квадрате отклоняются значения СВХ от математического ожидания).

Дисперсия D(X) равна математическому ожиданию квадрата отклонения значений СВ от её математического ожидания:

D(X) = М(Х-М(Х))²

Для ДСВ дисперсия находится по формуле: т.е.

Свойства D(X):

а) D(X)≥0 (дисперсия неотрицательна);

б) D(C)=0 (дисперсия постоянной равна нулю);

в) D(CX)=C²∙D(X) (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат)

г) D(X+C) = D(X) (дисперсия не изменится, если к значениям случайной величины прибавить одно и то же постоянное число)

Более простая формула для вычисления дисперсии:

Доказательство: D(X) = М(Х-М(Х))² = М(Х²-2Х∙ М(Х)+М²(Х))=

=М(Х²)-2М(Х∙М(Х))+М(М²(Х))=М(Х²) – 2М(Х)∙М(М(Х))+ М(М²(Х))=

=М(Х²)-2М(Х)∙М(Х)+ М²(Х) = М(Х²)-2М²(Х)+М²(Х)=М(Х²) - М²(Х)

(по свойствам М(Х)).

3. Среднее квадратическое отклонение σ(Х)

σ(Х) показываетна сколько в среднем отклоняются значения СВ от её математического ожидания. σ(Х) имеет те же единицы, что и М(Х).

4. Мода Мо(Х)– такое значение случайной величины Х, которое принимается с наибольшей вероятностью.

5. Медиана Ме (определяется для НСВ, функция распределения которой строго монотонна) – такое значение Х, для которого одинаково вероятно, что значения СВ окажутся меньше или больше его, т.е. Р(Х<Me)=P(X>Me)=1/2 .

6. Коэффициент асимметрии Аs (определяется для НСВ) – показатель асимметричности распределения, определяющий степень скошенности функции плотности вероятности этой величины.

7. Коэффициент эксцесса Еx (определяется для НСВ) – показатель, служащий мерой островершинности кривой функции плотности вероятности этой величины.

Пример: Используя данные задачи 1, найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины Х – «количество выбранных глаголов»

Решение. М(Х)=0 0,6715+1 0,297+2 0,0315=0,36;

D(X)=(0-0,36)² 0,6715+(1-0,36)² 0,297+(2-0,36)² 0,0315=0,294

.