Числовые характеристики системы двух СВ

1. Ковариация cov(X,Y) или корреляционный момент - математическое ожидание произведения отклонений этих СВ от их математических ожиданий .

2. Коэффициент корреляции– это количественная мера взаимосвязи двух переменных: ,

гдеσ_x и σ_yсредние квадратические отклонения X и Y.

Свойства коэффициента корреляции:

а) коэффициент корреляции по абсолютной величине

не превосходит 1: -1≤ ≤1;

б) чем ближе к единице, тем большая вероятностная (стохастическая) зависимость между X и Y (сила связи). Количественной мере тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока):

Количественная мера тесноты связи	Качественная характеристика силы связи
0,1 - 0,3	Слабая
0,3 - 0,5	Умеренная
0,5 - 0,7	Заметная
0,7 - 0,9	Высокая
0,9 - 0,99	Весьма высокая

в) знак определяет направление связи. Если >0, то между Х и Y прямая зависимость (чем больше Х, тем больше Y), если <0, то зависимость между Х и Y обратная (чем больше Х, тем меньше Y);

г) если Х и Y независимы, то =0;

д) если Х и Y связаны линейной зависимостью, т.е. Х= а Y + в,

где а ≠ 0, то = 1 или = -1 ( при а > 0 и при а < 0);

е) если = 1 или = -1, то Х и Y связаны линейной зависимостью.

Пример: Найти коэффициент корреляции СВ X и Y, если закон распределения двумерной СВ (X; Y) задан таблицей:

а) определим законы распределения одномерных СВ X и Y.

б) найдём числовые характеристики одномерных СВ X и Y.

М(Х)=0 0,6+1 0,4=0,4; М(Y)=0 0,3+1 0,4+2 0,3=1;

D(X)=0² 0,6+1² 0,4-0,4²=0,4-0,16=0,24; ;

D(Y)=0² 0,3+1² 0,4+2² 0,3-1²=0,4+1,2-1=0,6; ;

в) вычислим

,

где .

=(0-0,4) (0-1) 0,1+(0-0,4) (1-1) 0,3+(0-0,4) (2-1) 0,2+

+(1-0,4) (0-1) 0,2+(1-0,4) (1-1) 0,1+(1-0,4) (2-1) 0,1= - 0,1

Вывод: существует слабая отрицательная корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y