Определенный интеграл

Геометрический смысл определенного интеграла

Задача. Оценить площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) и прямыми y=0; x=a; x=b.

6 Рассмотрим криволинейную трапецию aABb . Ее площадь обозначим

Интервал [a,b] разобьем на n частичных интервалов, не обязательно равных, точками деления:
a< < <...< <b.

Каждый частичный интервал
[ , ] имеет длину, равную .

Внутри каждого интервала выберем точку и вычислим f( ).

Составим произведения:

f , f , ... , f , которые представляют собой площади соответствующих прямоугольников.

Очевидно, можно записать:

(1)

Где

( )

Сумма называется интегральной суммой функции f(x) на интервале [a, b].

Если будем увеличивать число частичных интервалов, тем самым уменьшая их длину ( ), интуитивно ясно, что в неравенстве (1) левая, средняя и правая части неравенства в пределе будут стремиться к площади криволинейной трапеции.

Предел интегральной суммы функции f(x) на [a, b] при неограниченном уменьшении длины частичного интервала разбиения (соответственно, ), называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b].

Определенный интеграл соответствует площади криволинейной трапеции.

Формула Ньютона – Лейбницаустанавливает связь между понятиями неопределенного и определенного интеграла.

ТЕОРЕМА. Функция Ф(x), выражающая площадь переменной криволинейной трапеции (с подвижной правой стороной) является первообразной для функции y=f(x), графиком которой является кривая, ограничивающая эту трапецию сверху.

6 Имеет место неравенство:

площадь площадь площадь

4-угольника крив.трапеции 4-угольника

Если обозначим , то отсюда:

Если , то в силу непрерывности f(x):

Этим доказано, что функция Ф(x), выражающая площадь криволинейной трапеции, является первообразной для f(x).

Можно записать:

(F(x) – некоторая первообразная для f(x)).

Определим константу С:

- при x=a, Ф(a)=F(a)+C=0ÞC= –F(a), т.е.

- при x=b, получим:

- формула Ньютона – Лейбница.

Пример: Вычислить xdx

xdx =