Определенный интеграл
Геометрический смысл определенного интеграла
Задача. Оценить площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) и прямыми y=0; x=a; x=b.
6 Рассмотрим криволинейную трапецию aABb . Ее площадь обозначим
Интервал [a,b] разобьем на n частичных интервалов, не обязательно равных, точками деления:
a< < <...< <b.
Каждый частичный интервал
[ , ] имеет длину, равную .
Внутри каждого интервала выберем точку и вычислим f( ).
Составим произведения:
f , f , ... , f , которые представляют собой площади соответствующих прямоугольников.
Очевидно, можно записать:
(1)
Где
( )
Сумма называется интегральной суммой функции f(x) на интервале [a, b].
Если будем увеличивать число частичных интервалов, тем самым уменьшая их длину ( ), интуитивно ясно, что в неравенстве (1) левая, средняя и правая части неравенства в пределе будут стремиться к площади криволинейной трапеции.
Предел интегральной суммы функции f(x) на [a, b] при неограниченном уменьшении длины частичного интервала разбиения (соответственно, ), называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b].
Определенный интеграл соответствует площади криволинейной трапеции.
Формула Ньютона – Лейбницаустанавливает связь между понятиями неопределенного и определенного интеграла.
ТЕОРЕМА. Функция Ф(x), выражающая площадь переменной криволинейной трапеции (с подвижной правой стороной) является первообразной для функции y=f(x), графиком которой является кривая, ограничивающая эту трапецию сверху.
6 Имеет место неравенство:
площадь площадь площадь
4-угольника крив.трапеции 4-угольника
Если обозначим , то отсюда:
Если , то в силу непрерывности f(x):
Этим доказано, что функция Ф(x), выражающая площадь криволинейной трапеции, является первообразной для f(x).
Можно записать:
(F(x) – некоторая первообразная для f(x)).
Определим константу С:
- при x=a, Ф(a)=F(a)+C=0ÞC= –F(a), т.е.
- при x=b, получим:
- формула Ньютона – Лейбница.
Пример: Вычислить xdx
xdx =
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1414;