Теорема об изменении кинетической энергии. Работа силы

Пусть сила – равнодействующая всех сил системы, приложена к точке Р, а (dx, dy, dz) – элементарное перемещение точки Р вдоль ее траектории Р₁ Р₂ (рис. 5.1). Элементарной работой dА силы называют скалярное произведение

Рис.5.1

. (5.1)

Элементарная работа является скалярной величиной. Если - угол между силой и направлением перемещения , то выражение (5.1) можно представить в виде

, (5.2)

где - проекция силы на направление элементарного перемещения (или направление скорости точки).

Знак элементарной работы зависит от знака функции . Если - острый угол, то , если - тупой угол, то , если , то .

Пусть точка Р совершает конечное перемещение из положения в положение , описывая дугу . Разобьем дугу на n произвольных малых участков, обозначив длину участка с номером k через . Тогда элементарная работа силы на k-м участке будет равна , а на всем пути от до - сумме работ на отдельных участках

Точное значение работы получим, переходя к пределу, при условии, что число участков n неограниченно возрастает, а длина каждого участка убывает:

.

Такой предел называется криволинейным интегралом первого рода по дуге и записывается следующим образом

. (5.3)

Результат интегрирования является полной работой А силы F на рассматриваемом конечном перемещении вдоль пути .