Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу

Рассмотрим движение тела в плоскости. Пусть О – произвольно выбранная точка на твердом теле (рис.5.4). Назовем ее полюсом. Тогда движение тела в плоскости можно представить как сумму простейших: поступательного движения вместе с полюсом и вращение тела вокруг полюса. Тогда, скорость точки относительно неподвижной системы координат определится как геометрическая сумма двух скоростей

,

где - скорость полюса, - вектор угловой скорости твердого тела, – скорость точки, при ее ращении вокруг полюса.

Рис. 5.4

Будем представлять твердое тело как механическую систему, состоящую из N отдельных точек, взаимное расстояние между которыми не изменяется.

Вычислим смещение точки под действием силы :

, тогда .

Элементарная работа, согласно (5.1), запишется следующим образом

Воспользовавшись свойствами смешенного произведения векторов , перепишем последнее выражение в виде

. (а)

Пусть - равнодействующая всех сил, внешних и внутренних (рис5.4), приложенных в точке тела, т.е.

.

Тогда (а) запишется так

Согласно (3.1 и 3.2), главный вектор и главный момент внутренних сил системы равны нулю, получаем

, (5.6)

здесь: - главный вектор, - главный момент внешних сил относительно точки О.

Частные случаи

A. Поступательное движение твердого тела. Все точки тела имеют одинаковые перемещения (рис. 5.5, а) и по модулю, и по направлению, тогда, из (5.6), получим (здесь ):

. (5.7)

B. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть ось z проходит через полюс О (рис. 5.5б). Тогда , ; из (5.6) получим

Рис. 5.5

. (5.8)

Пример. Катушка массой m и радиусом R приводится в движение постоянной силой F, приложенной в точке А (рис. 5.6). Катушка катится вправо без скольжения по шероховатой поверхности.

Вычислить работу всех внешних сил, если центр катушки переместился на расстояние , - коэффициент трения качения, - сила трения, r – радиус сердечника катушки, к которой приложена сила.

Решение. Катушка совершает плоское движение. Так как качение происходит без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью, т.е. в точке Р (рис.5.6). Направим ось S по горизонтали вправо. В соответствии с направлением движения примем положительное направление угла поворота против хода часовой стрелки.

Пусть центр катушки С переместится на . При этом катушка повернется на угол . Тогда , откуда

.

Приняв точку Р за мгновенную ось вращения, вычислим элементарную работу по формуле (5.8):

(а)

Здесь: линии действия сил и mg пересекают ось вращения, поэтому ; далее , где N – сила нормальной реакции.

Для определения искомой работы остается взять определенный интеграл от (а) в пределах от 0 до S_А. Получим

.