Теорема об изменении кинетической энергии системы

Пусть точки системы массой переместились так, что их радиус-векторы в инерциальной системе отсчета получили приращение . Найдем, как при этом изменилась кинетическая энергия Т системы.

Согласно (5.11), кинетическая энергия системы

.

Вычислим дифференциал кинетической энергии системы и преобразуем полученное выражение

здесь

Принимая во внимание, что , где - ускорение точки а и - равнодействующие внешних и внутренних сил, приложенных к точке, перепишем последнее равенство в виде

.

Таким образом,

. (5.23)

Последнее равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы.

Частный случай. Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:

.

Следовательно, теорему об изменении кинетической энергии (5.23) для твердого тела можно записать в виде

. (5.24)

Изменение кинетической энергии твердого тела при каком-либо элементарном перемещении равно элементарной работе внешних сил, действующих на тело.

Если обе части (5.24) проинтегрировать между двумя положениями – начальным и конечным, в которых соответственно кинетическая энергия и , получаем

. (5.25)

Пример 1. Диск массой m=5 кг и радиусом приводится в движение постоянной силой , приложенной в точке А (рис. 5.6). Диск катится по шероховатой поверхности вправо без скольжения. Определить скорость центра масс С катушки в момент, когда он переместится на расстояние , коэффициент трения скольжения , , радиус инерции диска

Решение. Диск совершает плоское движение. Запишем теорему об изменении кинетической энергии для твердого тела

. (а)

Вычислим кинетическую энергию диска. В начальный момент времени диск находился в покое, т.е. . Кинетическая энергия в конечном положении диска

,

где , , следовательно,

.

Работа внешних сил на перемещении центра масс была вычислена на стр 91:

.

Находим искомую скорость центра масс диска. Имеем

следовательно,

, откуда. V_C=8,62 м/с.

Пример 2. Механическая система (рис. 5.12) состоит из составного диска 1 (m₁g=40H, R₁=0,4м, r₁=0,2м, радиус инерции относительно оси вращения i₁=0,3м), обмотанного нерастяжимыми нитями, на концах которых прикреплен груз 2 (m₂g=60H) и однородный каток 3 (m₃g=20H). Каток катится без скольжения по наклонной шероховатой поверхности с углом наклона . К диску приложена пара сил, с моментом М=80H·м, а к оси катка сила F=800H.

Вычислить ускорение, с которым будет опускаться груз 2.

Решение. Вычислим кинетическую энергию системы, равную сумме энергией всех ее тел

. (а)

Диск (тело 1) вращается вокруг центра вращения О, груз (тело 2) движется поступательно, а каток (тело 3) – плоскопараллельно, тогда кинетическая энергия каждого тела механической системы, соответственно, имеет вид

(б)

Моменты инерции диска и катка вычисляются по формулам

. (в)

Выразим линейные и угловые скорости в выражении (б) через перемещение второго груза S и его скорость . Направления движений тел изображены на рис. 5.12.

Имеем: тогда ;

тогда ; (г)

тогда .

Здесь учтено, что расстояния, пройденные точками А, В и С, связаны между собой следующим образом: ≡ .

Рис. 5.12

Подставляя выражения (г) и (в) в (б), получим

; .

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий элементов системы, т.е.

Выражение, стоящее в скобках имеет размерность массы (кг), следовательно, слагаемые в скобке представляют собой приведенную массу заданной механической системы, обозначим ее , тогда кинетическая энергия системы примет вид

.

Вычислим значение приведенной массы системы

Вычислим работу, совершенную внешними силами, сообщив механической системе перемещение при котором груз 2 опустится на δS. Тогда, имея в виду (г), получим

Выражение, стоящее в скобках имеет размерность силы (н), следовательно, слагаемые в скобке представляют собой приведенную силу заданной механической системы, обозначим ее , тогда

Вычислим значение приведенной силы заданной системы

Запишем теорему (5.25)

В начальный момент времени система находилась в покое, следовательно, Имеем

(д)

Продифференцировав по времени правую и левую части уравнения (д), получим

откуда