Формула полной вероятности

Пусть , , … образуют полную группу событий. Для некоторого случайного события A можно представить:

A=A´ +A´ + … +A´

Откуда: Р(A)= = ´

(в силу несовместимости событий A´ ).

· Детали изготавливают на двух станках. Производительность первого в два раза больше, чем второго. Первый станок дает 5% бракованных деталей (95% - качественных), второй – 10% брака (90% - качественных). Сколько процентов качественных деталей изготавливают за смену на обоих станках?

Обозначим: E₁={деталь изготовлена на 1 станке},

E₂={деталь изготовлена на 2 станке},

A ={произвольно взятая деталь - стандартна}.

Здесь: Р( )= , Р( )= , (A)=0,95, (A)=0,9

По формуле полной вероятности (для двух гипотез и ):

Р(A)=Р( )´ (A) + Р( )´ (A) = ´0,95+ ´0,9»0,93.

Вывод: Примерно 93% изготавливаемых за смену деталей (при одновременной работе обоих станков) - качественные.

Формула Байеса

Представляет собой, в определенном смысле, решение обратной задачи.

Так, в предыдущем примере можно задаться вопросом:

Какой процент из всех качественных деталей, изготовленных за смену, приходится на первый станок (соответственно, второй)?

Формула Байеса выводится из формулы полной вероятности, если для каждого слагаемого, в силу симметрии (А´ = ´А), представить: Р( )´ (А)=Р(А)´ ( ).

Откуда: ( ) = =

· Отвечая на поставленный вопрос, получим:

= = »0,68 (68%)

= = »0,32 (32%)

Вывод: Из всех качественных деталей, изготовленных за смену, 68% приходится на первый станок и 32% - на второй станок.