Непрерывные случайные величины

Для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной, нельзя составить закон распределения. Поэтому для таких величин оценивают вероятность попадания в заданный интервал.

Введем функцию аргумента Х:

F(X) = P(X<x)

Интегральной функцией распределения случайной величины Х называется вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного числа (аргумента) х.

Будем предполагать, что функция F(X) – непрерывна.

Свойства интегральной функции распределения:

1) 0£F(X)£1

2) F(X) – неубывающая функция, т.е. если < , то F F .

3) F(-¥)=0, F(+¥)=1

(Cвойства 1-3 следуют из определения вероятности).

4) Р(a<Х<b) = F(b) – F(a)

- Так как событие {X<b} эквивалентно событиям {X<a} или {a£Х<b}, то по теореме сложения вероятностей:

P(X<b)=P(X<a)+P(a£X<b)=P(X<a)+P(X=a)+P(a<X<b)

Из непрерывности F(X) легко доказать, что Р(Х=a)=0 (принимая, в частности, b=a+Dх и Dх®0). Откуда:

Р(a<Х<b)=Р(Х<b)-Р(Х<a) = F(b)-F(a)

Ñ Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х (или ее плотностью вероятности) называется функция j(X), равная производной ее интегральной функции: j(X) =