Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

С помощью преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование некоторых видов линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть задано дифференциальное уравнение:

Рассмотрим случай, когда коэффициенты этого уравнения являются полиномами от t, тогда это уравнение может быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой дифференцирования изображения.

……………………………………………………….

Подставляя в уравнение полученные результаты, можно убедиться, что исходное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительно , но это уже будет обыкновенное линейное дифференциальное уравнение. Порядок этого уравнения будет такой, какова наивысшая степень t имеющаяся в исходном уравнении.

Целесообразность преобразования по Лапласу в том, что преобразованное дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем исходное.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

или

.

Получим линейное дифференциальное уравнение 1 порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки X=UV. При этом уравнение примет вид:

Согласно методу Бернулли будем иметь:

Тогда изображения искомого решения примет вид:

Возвращаясь к оригиналу, получим

8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть дана система n дифференциальных уравнений 2^го порядка.

, (8.9)

где – к-тая функция, которую необходимо найти,

- коэффициенты системы,

- правые части.

Пусть заданы начальные условия

Пусть

Применяя к обеим частям каждого уравнения преобразование Лапласа, получим систему:

,

Эта алгебраическая система относительно неизвестных . Решим её и затем переходим к оригиналам.

Пример. Решить систему

При начальных условиях x(0)=1, y(0)=0, z(0)=-1.

Решение: Пусть , ,

В области изображений система примет вид:

или

Решим систему:

.

Аналогично найдутся и другие функции y(t) и z(t). Для решения системы дифференциальных уравнений операторным методом требуется решить только одну систему линейных алгебраических уравнений. При этом учитываются и начальные условия. Следует отметить возможность нахождения каждой неизвестной функции независимо от других. Проделать тоже самое классическим методом весьма затруднительно.

8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.

В ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями, в которых неизвестная функция входит при различных значениях аргумента, например:

и т.п.

Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.

Если постоянные, то мы имеем так называемое дифференциально – разностное уравнение.

Если и старшая производная входит в дифференциально-разностноеуравнение только при одном значении аргумента, не меньшем всех других аргументов функций и производных, входящих в уравнение, то уравнение называют дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом.

Пусть дано дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом с постоянными коэффициентами

,

где =const, .

Возьмем для простоты нулевые начальные условия

.

Применяя преобразования Лапласа, получим

.

Откуда найдем

от изображения переходим к оригиналу x(t).

Пример: Решить уравнение.

.

Решение:

В области изображений откуда

Переходим к оригиналу

.