Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
.
Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка.
(8.2)
при нулевых начальных условиях.
(8.3)
Пусть нам известно решение уравнения
L(x) = 1, (8.4)
при тех же начальных условиях (8.3).
Это решение
Операторное уравнение (8.4) будет иметь вид:
(8.5)
Откуда,
(8.6)
Операторное уравнение (8.2).
X(p)L(p)=F(p). (8.7)
Откуда
или с учетом (8.6)
(8.8)
Теперь в силу интеграла Дюамеля, получим
.
А так как начальные условия нулевые
где - решение уравнения с единичной правой частью. Т.о. зная решение для единичной правой части, при помощи интегрирования найдем решение для любой правой части.
Пример. Найти частное решение уравнения
при нулевых начальных условиях.
Решение: Здесь правая часть не является оригиналом , не удовлетворяет третьему условию оригинала.
Рассмотрим уравнение:
.
Операторное уравнение имеет вид:
таким образом - это решение уравнения при единичной правой части.
Тогда .
Выразить полученный интеграл с помощью элементарных функций не удается и обычно ищется приближенное решение.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 333;