Интегральные уравнения типа «свертки».
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла.
Например, (8.10)
-это линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Здесь y(x) – неизвестная функция,
f(x) и r(x,t) – заданные функции.
Функцию r(x,t) называют ядром уравнения (8.10),
a и b=const.
Изменим (8.10) следующим образом.
(8.11)
Получим линейное интегральное уравнение Вольтерра 2го рода.
Если в (8.10) и (8.11) , то уравнения будут называться однородными.
Если искомая функция y(x) входит только под знак интеграла, то (8.10) и (8.11) преобразуются в уравнения Фредгольма и Вольтерра 1го рода.
или .
Совершенно очевидно, что большую роль в решении будет играть ядро уравнения, т.е. функция r(x,t). Важный класс уравнений Вольтерра получается, если ядро r(x,t) зависит только от разности
r(x,t)=r(x-t).
Уравнение в этом случае имеет вид.
(8.12)
Его еще называют уравнением типа свертки.
Пусть входящие в уравнение (8.12) функции удовлетворяют условиям оригинала, тогда может быть найдено изображение функций по Лапласу
Пользуясь формулой свертки, получим операторное уравнение
.
Откуда
.
Для Ф(р) находим - решение интегрального уравнения (8.12).
Пример. Решить интегральное уравнение
.
Решение:
Так же решаются и системы интегральных уравнений.
Пример. Решить систему интегральных уравнений
в области изображений получим:
преобразовав, будем иметь:
или,
решим методом Крамера:
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 302;