Вопрос 2. Уравнение плоской волны.

Установим связь между смещением колеблющейся частицы среды (точки) от положения равновесия и временем, отсчитанным от момента начала колебания источника, который находится на расстоянии х от «нашей» частицы в начале координат.

Пусть колебания источника S гармонические, т.е. описываются уравнением ξ(t) = Asinωt. С течением времени все частицы среды также будут совершать синусоидальные колебания с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет гармоническая бегущая волна.

Частица среды, находящаяся на оси ОХ на расстоянии х от источника S (рис. 1.2), начнёт колебаться позже, чем источник, на время, необходимое, чтобы волна, распространяющаяся от источника со скоростью V, преодолела расстояние х до частицы. Очевидно, что если источник колеблется уже в течение времени t, то частица среды колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от источника до частицы.

Рис. 1.2

Тогда уравнение колебания для этой частицы будет

ξ(x,t) =Asinω(t-τ),

но t =x/V, где V – модуль cкорости распространения волны. Тогда

ξ (x,t) =Asinω(t-x/V)

– уравнение волны.

С учётом того, что и , уравнению можно придать вид

ξ (x,t)=Asin2 (t/T-x/λ) = Asin2 (νt -x/λ) = Asin (ωt -2πx/λ) = Asin (ωt -kx),(1.1)

где k = 2p/l – волновое число.Здесь (1.1) – уравнение плоской гармонической монохроматической волны (рис. 1.3), распространяющейся в направлении оси ОХ. График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны.

Рис. 1.3

График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени. График волны – смещение всех частиц среды в данный момент времени на всем расстоянии от источника колебаний до волнового фронта. График волны является как бы моментальной фотографией волны.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеет вид:

ξ(x,y,z,t) = Asin = Asin(ωt – k_xx – k_yy – k_zz), (1.2)

где ξ – мгновенное смещение колеблющегося элемента среды (точки) с координатами x, y, z; А – амплитуда смещения; ω – круговая частота колебаний;

– волновой вектор, равный ( – единичный вектор, указывающий направление распространения волны); ; - орты;

λ – длинна волны (рис. 1.3), т.е. расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды; – радиус-вектор, проведённый в рассматриваемую точку, ;

– фаза волны, где .

Здесь – углы, составленные волновым вектором с соответствующими осями координат.

Если волна распространяется в среде, не поглащающей энергию, то амплитуда волны не изменяется, т.е. А = const.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы волны (фазовая скорость). В однородной среде скорость волны постоянна. Если фазовая скорость волны в среде зависит от частоты, то такое явление называется дисперсией волн, а среда – дисперсирующей средой.

При переходе из одной среды в другую может меняться скорость распространения волн, так как меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что припереходе из одной среды в другую будет меняться длина волны l.