Резонанс напряжений и резонанс токов.

Вопрос 1. Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

Электромагнитными колебаниями в цепи называются периодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы напряженности электрического и магнитного полей. Примером электрической цепи, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, (рис.2.1).

Если сопротивление R мало (R→0) электрический контур является идеальным (LC – контур). При R≠0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.

Рис.2.1

Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо

сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q, либо возбудив в катушке индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе К зарядим конденсатор С. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого W_C = q²/2C.

После замыкания ключа К конденсатор начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность L. Энергия магнитного поля W_L=LI²/2. Если R = 0 (рис. 2.2), то в момент, когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия W_C обращаются в нуль, энергия магнитного поля W_L и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции ε_с). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора С достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока в цепи станет равной нулю.

W_C = q²/2C W_C = 0 W_C = q²/2C W_C = 0 W_C = q²/2C

W_L = 0 W_L = LI²/2 W_L = 0 W_L = LI²/2 W_L = 0

Рис .2.2

После этого рассмотренные процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения)

сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

При возрастании электрического заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока в цепи равна

I = dq/dt. (2.1)

Для расчета электрической цепи запишем закон Ома, условившись, что обход контура будем совершать против часовой стрелки:

IR = φ₁ – φ₂ + ε_с. (2.2)

Подставив разность потенциалов между обкладками φ₂ – φ₁ = q/C и э.д.с. самоиндукции ε_c = –LdI/dt, равенство (2.2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t) на обкладках конденсатора, и таким образом получить дифференциальное уравнение второго порядка колебаний заряда в контуре:

. (2.3)

Напомним, что дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию, ее производные различных порядков и независимые переменные. Например, в выражении (2.3)

присутствует величина заряда q (искомая переменная функция, зависящая от времени), первая производная этой функции по времени dq/dt и вторая производная этой функции по времени d²q/dt².

Поскольку внешние э.д.с. в контуре отсутствуют, то рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.

Если учесть, что R = 0,то процесс периодического превращения энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора меняется во времени по закону U = U₀cosω₀t, а ток в катушке индуктивности – I = I₀cosω₀t, т. е свободныеколебания в контуре являются гармоническими с частотой ω₀ = 2π/Т₀. Используя стандартные обозначения для собственной циклической частоты гармонических колебаний

, (2.4)

уравнение (2.3) перепишем так

(2.4а)

– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний электрического заряда в контуре.

Решением уравнения (2.4а) является функция

q = q_mcos(ω₀t + α). (2.5)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω₀ (2.4), которая называется собственной циклической частотой контура, т.е. соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.

Из (2.4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):

. (2.6)

Используя известную формулу q = UC и (2.5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:

U_с = (1/C)q_mcos(ω₀t + α) = U_m cos(ω₀t + α). (2.7)

Продифференцировав функцию (2.5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:

I = - ω₀q_m sin(ω₀t + α) = I_m cos(ω₀t + α + π/2). (2.8)

Из (2.8) видно, что сила тока в катушке индуктивности L опережает по фазе напряжение на конденсаторе C на π/2. Сопоставление формул (2.5), (2.7) и (2.8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях. Амплитудные значения тока и напряжения:

U_m=q_m/C, I_m = ω₀q_m, U_m = I_m .