Интегральные уравнения пограничного слоя

rс_р(w_х +w_у ) = - ¶q_y/¶у(1)

Проинтегрируем это уравнение от у = 0 до у = ¥. Заметим, что за пределами пограничного слоя производные, входящие в уравнение (1), равны 0. Поэтому увеличение верхнего предела от k до ¥ не дает изменение интеграла.

Интегрирование правой части уравнения (1) дает

- dy = q_c, (плотность теплового потока на стенке)

здесь учтено, что (q_y)_у=¥ = - l (¶Т/¶у) _у=¥ = 0.

В результате интегрирования получим

w_х(T₀ - T)dy = - – (2)

– интегральное уравнение теплового потока для теплового пограничного слоя

Здесь k – толщина теплового пограничного слоя;

T₀ – температура невозмущенного потока.

В приближенных расчетах функциями w_х = w_х(у) и Т = Т(у) часто задаются исходя из опытных данных. Тогда с помощью этого уравнения можно определить, как изменяется тепловой пограничный слой вдоль оси х, то есть:

k = k(х)

Уравнение движения в проекциях на ось Ох для рассмотрим здесь течения в приближении пограничного слоя:

W_x + W_у = n (А)

Учитывая, что касательная сила трения S = m (¶w_x/¶y) и n = m/r, представим уравнение (А) в

^{динамический коэф.вязк. кинематич.коэф.вязкости}

виде r (W_x + W_у ) = ¶S/¶y(3)

Видим, что уравнение энергии (1) и уравнение движения (3) аналогичны. Поэтому, выполняя аналогичные преобразования над уравнением (3) получим интегральное уравнение импульсов для гидроэлектродинамического пограничного слоя

(4)

Здесь S_с – касательное напряжение трения при у = 0, то есть на поверхности стенки; d - толщина гидродинамического пограничного слоя.

Полученные уравнения пригодны и для турбулентного пограничного слоя, если под w_х и Т подразумевать осредненные во времени значения скорости и температуры.