Приведение математической формулировки краевой

задачи к записи в безразмерной форме

Пусть поверхность твердого тела омывается несжимаемой жидкостью, температура и скорость которой вдали от тела постоянны и равны T₀ и w₀ соответственно.

Предполагаем, что физические параметры жидкости постоянны (учтем только подъемную силу, возникающую в результате зависимости плотности от температуры). Рассмотрим процесс – стационарный (Т и скорость в каждой точке жидкости не изменяется). Расположим ось ОУ нормально к поверхности тела, а ось ОХ – направлена вдоль тела и вертикальна. При этом g_х = g, а проекции вектора сил тяжести (или подъемной силы) на оси ОУ и OZ g_y = g_z = 0. Размер тела вдоль оси OZ намного больше l₀.

При принятых условиях поля температур и скоростей можно описать дифференциальными уравнениями в приближении пограничного слоя:

w_{х (}¶u/¶х) + w_{y (}¶u/¶y) = a (¶ ²u/¶y ² ) – уравнение энергии,

(так как толщина теплового пограничного слоя k >> l, то теплопроводностью вдоль слоя пренебрегаем, то есть ¶²u/¶х² = 0), u = Т – Т₀. движение только вдоль ОХ

w_х (¶w_х/¶х) + w_у( ¶w_х/¶у) = n (¶²w/¶у²) + gbu - уравнение движения,

_{сила трения подъемн. сила}

*) Здесь полная скорость изменения по времени w_х равна

dw_x/dt = ¶w_x/¶t + w_х (¶w_х/¶х) + w_у (¶w_х/¶у) + w_z (¶w_z/¶z)

¶w_х/¶х + ¶w_у/¶у = 0 – уравнение сплошности.

Граничные условия имеют вид:

1) вдали от тела (у = ¥)

u = u₀ = 0; w_х = w₀; w_у = 0

2) на поверхности тела (у = 0, 0 £ х £ ₀, -¥ £ z £ +¥)

u = u_с º Т_с – Т₀ = const; w_х = w_у = w_z = 0

В уравнениях и условиях однозначности различают 3 вида величин:

Независимые переменные – х, у;

Зависимые переменные - u_, w_х, w_у;

Постоянные величины - w₀, T₀, ₀, n, а, g, b и др. – они задаются условиями однозначности.

Таким образом, искомые зависимые переменные u_, w_х, w_у зависят от большого числа величин.

Величины, содержащиеся в уравнениях и условиях однозначности, можно сгруппировать в комплексы. Число безразмерных комплексов меньше числа размерных величин.

Для привидения к безразмерному виду выберем масштабы привидения. Для линейных величин выберем какой- либо характерный размер, например, длину поверхности теплообмена l₀, для скорости w₀, для температуры u_с.

Обозначим безразмерные величины:

Х = х/ ₀; Y = у/ ₀; W_x = w_х/w₀;

W_y = w_y/w₀; Q = u/ u_с. (а)

Тогда Х ₀ = х; Y ₀ = у; W_xw₀ = w_х;

W_yw₀ = w_y; Qu_с = u. (б)

Подставим в уравнения согласно равенствам (б), получим:

(W_x + W_y ) = ¶Q²/¶Y² – уравнение энергии

Здесь Ре (w_{0 0})/а – число Пекле