Анализ полученного решения

Так как m₁, m₂, …, m_n – ряд возрастающих чисел, то чем больше m, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера n.

Исследования показали, что уже при Fo ³ 0,3 ряд (в) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда

.

Величина D₁ является только функцией числа Bi (так как m_n = f (Вi)) и заранее может быть рассчитана и табулирована.

Если рассматривать температуру для определенного значения Х = х/d, то и cos(m₁ Х) является функцией Вi ( так как m₁ = f (Вi)).

Для оси пластины: Х = х/d = 0 ® cos(m₁ 0) = 1

Для поверхности: Х = х/d = 1® cos(m₁ 1) = cosm₁.

Тогда для оси пластины произведение D₁cos(0) обозначим как некоторую функцию N(Bi):

. (1)

Для поверхности пластины D₁ cosm₁ – обозначим через Р(Bi):

. (2)

Функции N(Bi) и Р(Bi) табулированы и берутся из справочников. Из уравнений (1) и (2) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией 2-х безразмерных параметров Bi и Fo.

.

Логарифмируя уравнение (1), получаем

. (3)

Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (2).

Из уравнения (3) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Это позволяет представить для уравнений (1) и (2) графическое решение (рис. 14).

Рис. 14 Изменение температурного поля в плоской неограниченной стенке при ее охлаждении

Из уравнения (в) для Q следует: поле температуры имеет вид симметричной кривой косинусоиды с максимумом на оси пластины (Х=0).

Физический смысл: в первые моменты времени перепад температур между серединой пластины и краем максимальный. Это объясняется тем, что сначала охлаждаются наружные слои пластины. Затем начинают остывать слои ближе к центру пластины.

Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. Кривизна этих кривых зависит от условий однозначности.

Для бесконечно длинного цилиндрического стержня вывод соотношений для температуры аналогичен рассмотренному выше для плоской стенки.

Охлаждение параллелепипеда

Доказано, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассмотренное тело.

Для параллелепипеда решение можно представить как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин:

_, (1)

где ; ; .

То есть, решение задачи для рассматриваемого тела конечных размеров свелась к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Уравнение (1) можно представить в виде:

,

где ; ; ; ; .

Данный метод известен в теории теплопроводности под названием теоремы о перемножении решений. Средняя температура находится аналогично.

Скорость распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тела к их объему. Чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше.