Напряжения и деформации при кручении

Представим себе, что прямой круговой цилиндр, подвергаемый де­формации кручения, состоит из бесконечно большого количества воло­кон, параллельных оси. Полагаем, что при кручении справедлива гипоте­за о ненадавливании волокон.

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только каса­тельные напряжения т, перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения. Существование нормальных напряжений в про­дольном сечении исключено, так как справедлива гипотеза о ненадавли­вании волокон; нормальные напряжения в поперечном сечении не возни­кают, так как нет продольной силы.

На рис. 22.1 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а равен дуге аа₁, а сечения волокна b — дуге bb₁:

где — полный угол закручивания, рад; r — радиус цилиндра; — рас­стояние от волокна b до оси кручения.

Так как радиусы сечения при кручении остаются прямыми, то вели­чина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения.

Относительный сдвиг сечения волокна b

Применим формулу закона Гука при сдвиге:

При = 0 = 0, т. е. на оси кручения касательные напряжения рав­ны нулю.

При = = _max, т. е. касательные напряжения достигают макси­мального значения у волокон, наиболее удаленных от оси кручения:

Так как относительный угол за­кручивания ₀ есть величина посто­янная для данного цилиндрического бруса, то касательные напряжения при кручении прямо пропорциональ­ны расстоянию от точек сечения до оси кручения. Эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника (рис. 22.3).

Если брус состоит из одного уча­стка, т. е. имеет постоянное сечение и постоянный по длине участка крутя­щий момент, то касательные напря­жения в данном волокне будут по всей длине цилиндра одинаковы.

Перейдем к выводу формул для определения угла закручивания и на­пряжений в поперечном сечении в зависимости от крутящего момента.

Рассечем брус, изображенный на рис. 22.1, поперечной плоскостью, находящейся на расстоянии z от заделки, и рассмотрим полученное сече­ние (рис. 22.3). Выделим в сечении бесконечно малую площадку dA на расстоянии от оси кручения. Сила dQ, действующая на эту площадку, перпендикулярна радиусу и равна

Определим момент внутренних сил относительно оси кручения, т. е. крутящий момент:

Произведение GI_p, стоящее в знаменателе, называется жестко­стью сечения при кручении.

Итак, мы установили, что полный угол закручивания круглого ци­линдра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении.

Так как при выводе последней формулы мы применяли закон Гука, она справедлива в пределах, когда нагрузка и деформация прямо пропор­циональны.

Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, отли­чающихся материалом, размерами поперечного сечения, значением кру­тящего момента, полный угол закручивания равен алгебраической сумме углов закручивания отдельных участков:

Выведем формулу для определения напряжений:

При = r напряжения достигнут максимального значения:

где W_p =I_p/r— момент сопротивления сечения кручению (или поляр­ный момент сопротивления).

Момент сопротивления кручению равен отношению полярного момента инерции к радиусу сечения.

Единица момента сопротивления кручению

Итак, напряжения и деформации при кручении круглого цилиндра вычисляют по формулам

Обратим внимание на то, что эти формулы по структуре аналогичны формулам для вычисления напряжений и деформаций при растяжении, сжатии и применимы лишь для участков бруса, имеющих одинаковый материал, постоянные поперечное сечение и крутящий момент.

По закону парности касательных напряжений, последние возникают не только в поперечных, но и в продольных сечениях, поэтому, например, в деревянных брусьях при кручении возникают трещины вдоль волокон (древесина плохо работает на скалывание вдоль волокон).

Из эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что внутренние волокна бруса испытывают небольшие напряже­ния, поэтому валы иногда делают пустотелыми, чем достигается значи­тельный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.

Определим момент сопротивления кручению для круглого и кольце­вого сечений.

1. Круг диаметром d:

2. Кольцо размером D d:

Отметим, что если полярный момент инерции кольцевого сечения можно определить как разность моментов инерции большого и малого кругов, то момент сопротивления кручению нельзя определять как раз­ность моментов сопротивлений этих кругов.

Пример 22.2. Стальной пруток длиной l= 1 м, диаметром d = 4 мм одним концом укреплен в зажиме, а на другом приложен скручивающий момент. При каком угле закручивания напряжение кручения будет равно 120 МПа? Модуль упругости второго рода G = 8,2 10⁴ МПа.

Решение. Запишем формулы, необходимые для решения задачи: полный угол закручивания круглого цилиндра

максимальное напряжение при кручении

Учитывая, что полярный момент инерции

и подставляя числовые значения, получаем