Главные оси и главные моменты инерции

Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой отно­сительно осей координат I_х и I_у,а полярный момент инерции относи­тельно начала координат I_р. Как было установлено ранее,

Если сумма двух переменных величин остается постоянной, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается. Следовательно, при каком-то положении осей один из осевых моментов достигает максимального, а другой — минимального значений.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называются главны ми осями инерции.

Момент инерции относительной главной оси называется главным моментом инерции.

Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, то она на­зывается главной центральной о с ь ю, а момент инерции отно­сительно этой оси — главным центральным моментом инерции.

Особо важным является то обстоятельство, что если фигура имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей.

Введем еще одну геометрическую характеристику плоского сечения.

Центробежным моментом инерции плоской фигуры на­зывается взятая по всей площади фигуры сумма произведений элемен­тарных площадок на произведение расстояний этих площадок до двух данных взаимно перпендикулярных осей:

где х, у — расстояние от площадки dA до осей у и х.Центробежный мо­мент инерции может быть положительным, отрицательным и в частном случае равным нулю.

Если взаимно перпендикулярные оси хиу или одна из них являются осью симметрии плоской фигуры, то относительно таких осей центро­бежный момент инерции равен нулю.

Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.

В таблицах стандартных профилей прокатных сталей содержится гео­метрическая характеристика, которая называется радиусом инер­ции сечения и вычисляется по формулам:

где I_х,I_y — осевые моменты инерции сечения относительно централь­ных осей; А — площадь сечения. Эта геометрическая характеристика ис­пользуется при изучении внецентренного растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.

Пример 21.1.Определить главные центральные моменты инерции таврового сечения, изображенного на рис. 21.5. Дано: b₁ = 15 мм, h₁ = 120 мм, b₂ = 120 мм, h₂= 30 мм.

Решение. Геометрические характеристики сечений стандартных профилей прокатных сталей в таблицах ГОСТов выражаются в см, поэтому вычисления в этом примере также проведем в см.

Прежде всего определим положение центра тяжести С данного сечения, раз­деленного на два прямоугольника 1 и 2. Запишем статические моменты площади этих прямоугольников относительно оси x₃ и определим координату y_c центра тяжести С всего сечения (х_c = 0, так как сечение симметрично относительно оси у).

Обозначим площади прямоугольников А₁ и А₂,тогда

Поскольку заданное сечение симметрично относительно оси у,то эта ось яв­ляется одной из главных центральных осей. Определим момент инерции I_у всего

сечения как сумму моментов инерции прямоугольников 1 и 2 , тогда

Определим моменты инерции I_x1и I_{x 2}прямоугольников 1 и 2 относительно собственных центральных осей х₁ и х₂:

Применим теорему о моментах инер­ции относительно параллельных осей и определим главный центральный момент инерции I_x относительно центральной оси х,причем

Итак, главные центральные моменты инерции заданного сечения равны:

Глава 22

КРУЧЕНИЕ