При параллельном переносе осей

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются цен­тральными. Момент инерции относительно центральной оси назы­вается центральным момен­том инерции.

ТеоремаМомент инерции от­носительно какой-либо оси равен мо­менту инерции относительно цен­тральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Пусть дана произвольная плоская фигура, площадь которой А,центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относи­тельно оси х будет I_x. Вычислим момент инерции фигуры относительно оси x₁, параллельной центральной и отстоящей от нее на расстоянии а (рис. 21.4):

Первое слагаемое правой части есть момент инерции фигуры отно­сительно оси х,т. е. I_x; второе слагаемое содержит статический момент площади относительно оси х, а он равен нулю, так как ось х — централь­ная; третье слагаемое после интегрирования будет равно а²А. Врезуль­тате получим

теорема доказана.

Нужно помнить то обстоятельство, что последней формулой можно пользоваться только в тех случаях, когда одна из параллельных осей — центральная.

Анализируя выведенную формулу, можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей момент инерции будет наименьшим относительно центральной оси.

Пользуясь доказанной теоремой, выведем формулу для вычисления момента инерции прямоугольника относительно оси x_1, проходящей через основание (см. рис. 21.3):