Теорема об изменении количества движения

Общие теоремы динамики материальной точки устанавливают зави­симость между изменением динамических мер движения материальной точки и мерами действия сил, приложенных к этой точке.

Количеством движения тvматериальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на ее скорость и имеющий направление скорости. Количество движения есть динамическая мера движения материальной точки.

Единица количества движения

Импульсом Ft постоянной силы F называется вектор, рав­ный произведению силы на время ее действия. Импульс силы есть мера ее действия во времени.

Количество движения и импульс силы выражаются в одинаковых единицах, связь между ними устанавливает теорема об изменении ко­личества движения,формулируемая так: изменение количества движе­ния материальной точки за некоторый промежуток времени равно им­пульсу приложенной к ней силы за тот же промежуток времени.

Перенесем oв левую часть и умножим обе части равенства на массу т материальной точки:

Докажем эту теорему для случая прямолинейного движения матери­альной точки под действием постоянной силы F, в этом случае движение будет равнопеременным, формула скорости которого записывается так:

В левой части равенства имеем изменение количества движения за время t, а в правой — импульс силы за тот же промежуток времени, что и требовалось доказать.

Если движение замедленное ( < ₀), то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и, следовательно, в по­следнюю формулу силу надо подставлять с отрицательным знаком.

В случае криволинейного движения материальной точки под дейст­вием переменной по модулю и направлению силы весь промежуток вре­мени t можно разбить на бесконечно малые промежутки, в пределах ко­торых вектор силы можно считать постоянным, а путь — прямолиней­ным, тогда импульс силы за конечный промежуток времени t будет равен сумме элементарных импульсов. В этом случае математическое выражение теоремы об изменении количества движения приобретает следующий вид:

Если к материальной точке приложено несколько постоянных сил, то изменение количества движения будет равно сумме (алгебраической, если силы действуют по одной прямой, или векторной, если силы действуют под углом друг к другу) импульсов данных сил:

Пример 16.1. Тело спускается без на­чальной скорости по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол = 30° (рис. 16.1). Определить время t,в течение которого скорость движения тела достиг­нет 13,9 м/с. Коэффициент трения сколь­жения

f = 0,25.

Решение. Рассмотрим тело как мате­риальную точку, движущуюся под действи­ем силы тяжести G, силы трения F_тр, и нор­мальной реакции N наклонной плоскости. Разложим силу тяжести G на составляющие G₁ и G₂, одна из которых пер­пендикулярна, а другая параллельна наклонной плоскости, и применим теорему об изменении количества движения:

Спроецируем это векторное равенство на направление наклонной плоскости, в результате чего получим

Применив второй закон трения скольжения и подставив значения, получим

откуда