Сила и потенциальная энергия

Зная силу как функцию координат материальной точки F(x,y,z), можно путем интегрирования (нахождения работы) определить потенциальную энергию системы

U₁=U(x,y,z)-U(0)=A₁₀=-A₀₁=- Fdr (7.5)

(знак минус перед интегралом обусловлен тем, что при интегрировании в этой формуле мы движемся от точки 0 к точке 1).

Другая задача — вычисление силы F(x,y,z) по заданной потенциальной энергии U(x,y,z). Это, естественно, обратная операция — дифференцирование. Пусть у нас есть две бесконечно близкие точки, r+ dг и г. Тогда

U(r+dr) – U(r) =dU= -F • dr. (7.6)

Расписывая скалярное произведение, получаем

dU = -(F_x dx + F_y dy + F_z dz). (7.7)

Следовательно, (7.8)

(это есть частная производная)

Таким образом, компоненты силы можно найти, дифференцируя потенциальную энергию системы по координатам х,у и z.

Если ввести единичные орты i, j и kвдоль осей координат X, Y и Z, то формулу для силы можно будет записать следующим образом:

F = F_xi+F_yj+F_zk=-( )= -gradU. (7.9)

где мы ввели обозначения:

grad U= (7.10)

Величина, стоящая слева, называется градиентом скалярной функцииU (U(x,y,z) — скаляр). Эта величина является вектором, поскольку определяет действующую на материальную точку силу. Таким образом, дифференцирование по координатам скалярной функции дает вектор.

Наряду с обозначением градиента как gradU применяется обозначение ÑU, где оператор Ñ (набла) определяется следующим образом:

Ñ=

Используя это обозначение, мы можем записать

gradU = Ñ U = ( ) U= (7.11)