Работа силы тяжести не зависит от формы пути. Она определяется только начальным и конечным положениями перемещающейся точки.

Кроме того, сравнивая и А₁₂= mgh₁-mgh₂

приходим к выводу, что

mgh₁ + = mgh₂ + , (6.14)

то есть при движении в поле силы тяжести сохраняется величина

Е = mgh+ mgh₁ + = const. (6.15)

Она, как вы знаете, называется полной энергиейсистемы и складывается из кинетической и потенциальной энергии.Под потенциальной энергией здесь надо понимать величину U= mgh.

Вторым примером консервативных сил являются так называемые центральные силы.Так называется сила, которая всегда направлена по радиус-вектору, соединяющему материальную точку с некоторой точкой в пространстве, и зависит только от расстояния до этой точки (рис. 6.5). Сама эта точка называется центром силы, или силовым центром. Примером таких сил могут служить силы гравитационного притяжения Земли к Солнцу (или Луны к Земле). Для того чтобы рис. 6.5 соответствовал этому случаю, надо только изменить направления сил на рисунке на противоположные, так как там они изображены как силы отталкивания.

Покажем, что работа центральных сил также не зависит от формы пути и определяется только начальным и конечным положениями материальной точки. Для этого произведем бесконечно малое перемещение dr. При этом |dr|cosa = dr, где dr — приращение расстояния до центра (смотри рис. 6.6).

Таким образом, dA = Fdr и

(6.16)

Значение определенного интеграла зависит только от нижнего и верхнего пределов и, таким образом, не зависит от формы пути.

Рассмотрим теперь замкнутый контур, который соединяет точки 1 и 2. Если сила консервативна, то
А₁₃₂ = А₁₄₂. Если мы изменим направление движения и будем двигаться не от 1 к 2, а от 2 к 1, то на каждом отрезке нашего пути сила будет той же самой, а перемещение изменит знак, то есть

А₁₄₂ = -А₂₄₁ (6.17)

В результате

А₁₃₂ = -А₂₄₁ или А₁₃₂ + А₂₄₁= 0. Таким образом, мы приходим к важному результату, что