Основное уравнение газодинамики. Адиабатное течение газов. Критическая скорость.

При исследовании движений с большими скоростями, нельзя не обращать внимания на сжимаемость газов. В этих случаях необходимо применять наряду с законами аэродинамики законы термодинамики. Научная дисциплина, которая возникла на основе уточнения и развития аэродинамики с использованием законов термодинамики, называется газодинамикой.

Законы газодинамики важны для современной авиации, разработки паровых и газовых турбин, космической техники и т.д.

Газодинамика, как и аэродинамика, не учитывает конкретное строение газов, рассматривания их как непрерывную среду, распределенную в пространстве. Совокупность частиц, двигающегося газа, называется потоком газа. Течение газа (поток) называется стационарным (установившемся), если параметры потока (скорость, давление, плотность и т.д.) не изменяются с течением времени в каждой точке (сечении) потока.

Рассмотрим процессы, происходящие в газовом потоке с точки зрения законов термодинамики. Пусть имеется стационарный поток газа. На пути потока имеется устройство С, которое превращает энергию потока в работу (например, газовая турбина), или наоборот устройство, которое передает энергию потоку за счет работы внешних сил (например, компрессор) (рис.1).

Рис.1 К выводу основного уравнения газодинамики

 

Так как поток стационарный, то параметры состояния потока в любом сечении остаются постоянными в любой момент времени, хотя для различных сечений (например, 1 и 2) они могут быть различными.

Пусть на участке 1 давление газа p1, а скорость u1, а на участке 2 p2 и u2 соответственно. За время dt через сечение S1 протекает объем газа V1, а через сечение S2 объем V2. В случае стационарного потока массы газа протекающие через сечения S1 и S2 за время dt должны быть одинаковые (закон сохранения массы):

m1 = m2 = m =const

Или r1V1 = r2V2

Или r1S1l1 = r2S2l2

Окончательно: r1S1u1dt = r2S2u2dt (1)

Отсюда следует, что

 

ruS = const (2)

(в гидро- и аэродинамике uS = const)

Если dt = 1с, то M = ruS – масса газа, протекающая через сечение S в единицу времени. Эта величина называется расходом газа.

Согласно I началу термодинамики количество теплоты Q переданное выделенной части газового потока (часть 1-2) за время dt равно:

 

Q = DE + A, (3)

где

DE = DU + DEк (4)

изменение полной энергии газа, которое складывается из изменения внутренней энергии газа DU и изменения его кинетической энергии DEк. A – полная работа, которая складывается из работы сил давления на торцевые поверхности выделенной части газового потока Ap, технической работы Aт в устройстве C и работы против сил трения Aтр:

A = Ap + Aт + Aтр (5)

С учетом (4) и (5) уравнение (3) принимает вид:

Q =DU + DEк +Ap +Aт +Aтр (6)

В (6)

DU = U2U1 (7)

где U2 и U1 – внутренняя энергия газа в сечениях 2 и 1 соответственно,

(8)

изменение кинетической энергии газа при прохождении через соответствующие сечения.

Работа сил давления на торцевые поверхности:

Ap = A2A1 = F2l2F1l1 = p2S2u2dtp1S1u1dt (9)

Учитывая, что udt = l, а Sl = V, получим

Ap = p2V2p1V1 (10)

В сечении 1 работа выполняется над выделенным объемом газа внешними силами (знак “-“, например, поршень сжимает газ до давления p1). В сечении 2 сам газ выполняет работу, действуя на нижние слои с давлением p2.

С учетом (7), (8) и (10) уравнение (6) преобразуется к виду:

(11)

В (11) величина U + pV = I – энтальпия или теплосодержание.

C учетом этого уравнение (11) принимает вид:

(12)

(12) – основное уравнение газодинамики. В реальных тепловых процессах, при нахождении работы, совершенной газовым потоком, эта величина играет большую роль. Она определяет “работоспособность“ газа. На самом деле, если течение газа адиабатное (Q = 0), то из (12) видно, что газовый поток выполняет работу за счет уменьшения энтальпии и кинетической энергии.

Рассмотрим адиабатное течение газа по трубопроводу переменного сечения без совершения технической работы (Aт = 0). Для упрощения не будем учитывать силы трения (Aтр = 0). С учетом этого уравнение (12) принимает вид:

или:

Отсюда следует:

(13)

Уравнение (13) – термодинамическое обобщение уравнения Бернулли. Из него следует, что сумма энтальпии и кинетической энергии газового потока при стационарном адиабатном течении газа без выполнения работы одинакова для любого сечения потока.

Преобразуем уравнение (13):

или:

или:

Так как поток стационарный, то через любое поперечное сечение за одно и тоже время проходит одна и та же масса газа, т.е. m = const. Тогда:

(14)

Из (14) следует, что при изменении скорости газа должна изменяться его температура. Для двух сечений газового потока получим:

или:

Известно, что:

С учетом этого последнее уравнение принимает вид:

(15)

Для адиабатного течения газа справедливо уравнение Пуассона:

Из уравнения Клапейрона-Менделеева:

где r - плотность газа. С учетом этого уравнение Пуассона принимает вид:

или:

Окончательно:

(16)

С учетом (16) из (15) получим:

(17)

Из (17) вытекает, что если u2 > u1, то и T2 < T1, p2 < p1, r2 < r1.

Течение газа, при котором кинетическая энергия потока (скорость) возрастает, а температура, давление и плотность уменьшается, называется течением с расширением (истечение пара из котла, газа из камеры сгорания реактивного двигателя).

Рассмотрим резервуар большого объема с газом под давлением p1 и температурой T1 (рис.2).

Рис. 2. К определению критической скорости

 

Пусть газ адиабатно вытекает через отверстие с площадью S в резервуар, где давление p0 (противодавление). Из-за больших размеров резервуара можно считать, что u1 = 0. Тогда из уравнения (17) получим:

(18)

где p2 – статическое давление в струе газа, вытекающего через отверстие. Если уменьшать противодавление p0, то будет уменьшаться и давление p2, а, следовательно, адиабатно будет уменьшаться и плотность r вытекающего газа (уравнение (17)), при этом скорость u2 будет увеличиваться.

Рассмотрим влияние величины противодавления на расход газа M = ruS.

Очевидно, что расход газа через отверстие постоянной площади определяется двумя величинами: плотностью и скоростью истечения газа. Плотность газа уменьшается с уменьшением противодавления, а скорость истечения наоборот увеличивается. Поэтому расход газа при уменьшении противодавления сначала будет расти за счет быстрого увеличения скорости u2, однако затем увеличение расхода газа замедляется за счет уменьшения плотности газа и, наконец, станет постоянным.

Дальнейшее уменьшение противодавления p0 не приводит ни к увеличению скорости потока, ни к увеличению расхода газа. В потоке устанавливаются так называемые критические значения скорости истечения, давления, температуры и плотности газа, которые не изменяются при дальнейшем уменьшении противодавления.

Если до этого момента давление газа на выходе потока было равно противодавлению, т.е. p2 = p0, то с этого момента, при истечении газа с критической скоростью в выходном отверстии будет наблюдаться скачок давления p2 > p0. Это происходит потому, что дальнейшее уменьшение p0 уже не приводит к уменьшению p2.

Можно доказать, что отношение давления в резервуаре p1 к критическому давлению газа в потоке pк определяется выражением:

(19)

где

Для воздуха p1/pк = 1,89.

Выясним физический смысл критической скорости. При достижении потоком газа критической скорости истечения из (19) получим:

Подставим в (18) и после несложных преобразований получим:

(20)

Из уравнения Пуассона с учетом (19) получим:

Отсюда:

С учетом этого из (20) получим:

(21)

Из (21) видно, что критическая скорость равна скорости распространения звука в газе при температуре потока газа, равной критической температуре.

Каким бы большим не было давление в резервуаре, каким бы маленьким не было противодавление в окружающем пространстве, газ не может вытекать со скоростью большей, чем скорость звука при данной температуре. Когда давление в потоке равно критическому, а скорость истечения равна скорости звука, то расход газа M будет максимально возможным при имеющихся начальных термодинамических параметрах газа в резервуаре (баллоне).

 

Лекция 25






Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 2535; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.048 сек.